点Qが円 $x^2 + y^2 = 4$ 上を動くとき、点P(3, 0)と点Qを結ぶ線分PQの中点の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点Qが円 $x^2 + y^2 = 4$ 上を動くとき、点P(3, 0)と点Qを結ぶ線分PQの中点の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1：点Qの座標を $(s, t)$ とおく。点Qは円 $x^2 + y^2 = 4$ 上にあるので、

$s^2 + t^2 = 4$

が成り立つ。

ステップ2：線分PQの中点を(x, y)とおく。

点Pの座標は(3, 0)である。

線分PQの中点の座標は、

$x = \frac{3+s}{2}$, $y = \frac{0+t}{2}$

である。

ステップ3：$x$ と $y$ の式から $s$ と $t$ をそれぞれ求める。

$s = 2x - 3$

$t = 2y$

ステップ4：$s$ と $t$ の式を、$s^2 + t^2 = 4$ に代入する。

$(2x - 3)^2 + (2y)^2 = 4$

$4x^2 - 12x + 9 + 4y^2 = 4$

$4x^2 - 12x + 4y^2 = -5$

$x^2 - 3x + y^2 = -\frac{5}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + y^2 = -\frac{5}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4} - \frac{5}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{4}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + y^2 = 1$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、中心 $(\frac{3}{2}, 0)$、半径1の円である。

$(x - \frac{3}{2})^2 + y^2 = 1$