(1) ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ が作る平行四辺形の面積 $S$ を $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$ の文字式で表す。 (2) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に直交し、その長さが(1)の平行四辺形の面積と等しいようなベクトル $\vec{d} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}$ とする。ベクトル $\vec{c}$ と $\vec{d}$ のなす角を $\theta$ とする。この平行六面体の「高さ」$h$ を、$\vec{c}$ の長さを $x$ として、$x$ と $\theta$ の文字式で表す。 (3) 平行六面体の体積を $V$ とする。$V = (\text{高さ} h) \times (\text{底面積} S)$ とみて、$V$ を $c_1, c_2, c_3, d_1, d_2, d_3$ の文字式で表す。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ が作る平行四辺形の面積 $S$ を $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$ の文字式で表す。

(2) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に直交し、その長さが(1)の平行四辺形の面積と等しいようなベクトル $\vec{d} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}$ とする。ベクトル $\vec{c}$ と $\vec{d}$ のなす角を $\theta$ とする。この平行六面体の「高さ」$h$ を、$\vec{c}$ の長さを $x$ として、$x$ と $\theta$ の文字式で表す。

(3) 平行六面体の体積を $V$ とする。$V = (\text{高さ} h) \times (\text{底面積} S)$ とみて、$V$ を $c_1, c_2, c_3, d_1, d_2, d_3$ の文字式で表す。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積 $S$ は、外積の大きさで表される。

$$S = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2}$$

(2) 高さ $h$ は、$\vec{c}$ の長さ $x$ と $\vec{c}$ と $\vec{d}$ のなす角 $\theta$ を用いて、

$$h = x \cos \theta$$

と表される。

(3) 平行六面体の体積 $V$ は、

$$V = (\text{高さ} h) \times (\text{底面積} S) = h \times |\vec{d}|$$

と表される。

ここで、$\vec{d}$ の大きさ $|\vec{d}|$ は、平行四辺形の面積 $S$ と等しいから、$|\vec{d}| = S$ である。

$\vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$、$\vec{d} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}$ とすると、高さ $h$ は $h = |\vec{c}| \cos \theta$ であり、$V = |\vec{c}| |\vec{d}| \cos \theta = \vec{c} \cdot \vec{d}$ となる。

したがって、

$$V = c_1 d_1 + c_2 d_2 + c_3 d_3$$

3. 最終的な答え

(1) $S = \sqrt{(a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2}$

(2) $h = x \cos \theta$

(3) $V = c_1 d_1 + c_2 d_2 + c_3 d_3$