点$(-4, 7)$と直線$x + 7y + 5 = 0$との距離を求めます。

1. 問題の内容

点$(-4, 7)$と直線$x + 7y + 5 = 0$との距離を求めます。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、$x_0 = -4$, $y_0 = 7$, $a = 1$, $b = 7$, $c = 5$ です。

これらの値を公式に代入すると、

$d = \frac{|1 \cdot (-4) + 7 \cdot 7 + 5|}{\sqrt{1^2 + 7^2}} = \frac{|-4 + 49 + 5|}{\sqrt{1 + 49}} = \frac{|50|}{\sqrt{50}} = \frac{50}{\sqrt{50}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{50}$ をかけます。

$d = \frac{50\sqrt{50}}{50} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$5\sqrt{2}$