2点 $A(1, 3, 0)$ と $B(0, 4, -1)$ を通る直線を $l$ とする。点 $C(-1, 3, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{d} = (-1, 2, 0)$ に平行な直線を $m$ とする。 (1) $l$ と $m$ が交わらないことを示せ。 (2) $l$ 上の点 $P$ と $m$ 上の点 $Q$ の距離 $PQ$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2点 $A(1, 3, 0)$ と $B(0, 4, -1)$ を通る直線を $l$ とする。点 $C(-1, 3, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{d} = (-1, 2, 0)$ に平行な直線を $m$ とする。

(1) $l$ と $m$ が交わらないことを示せ。

(2) $l$ 上の点 $P$ と $m$ 上の点 $Q$ の距離 $PQ$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $l$ の方向ベクトル $\vec{v}$ を計算する。$\vec{v} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0-1, 4-3, -1-0) = (-1, 1, -1)$ となる。

$l$ は点 $A(1, 3, 0)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (-1, 1, -1)$ を持つ直線である。

$m$ は点 $C(-1, 3, 2)$ を通り、方向ベクトル $\vec{d} = (-1, 2, 0)$ を持つ直線である。

$l$ と $m$ が交わらないことを示すためには、まず $l$ と $m$ が平行でないことを示す。$\vec{v}$ と $\vec{d}$ が平行でないことは、$\vec{v} = k\vec{d}$ となる実数 $k$ が存在しないことからわかる。$-1 = -k$, $1 = 2k$, $-1 = 0k$ を満たす $k$ が存在しないので、$\vec{v}$ と $\vec{d}$ は平行ではない。

次に、$l$ と $m$ が同一平面上にないことを示す。$\vec{AC} = (-1-1, 3-3, 2-0) = (-2, 0, 2)$ を計算する。

$\vec{v}$, $\vec{d}$, $\vec{AC}$ が一次独立であることを示せばよい。つまり、$\vec{v} \cdot (\vec{d} \times \vec{AC}) \neq 0$ を示せばよい。

$\vec{d} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (4-0)\vec{i} - (-2-0)\vec{j} + (0-(-4))\vec{k} = (4, 2, 4)$.

$\vec{v} \cdot (\vec{d} \times \vec{AC}) = (-1, 1, -1) \cdot (4, 2, 4) = -4 + 2 - 4 = -6 \neq 0$.

したがって、$l$ と $m$ は交わらない。

(2) $l$ 上の点 $P$ は $P = (1-s, 3+s, -s)$ と表せる。

$m$ 上の点 $Q$ は $Q = (-1-t, 3+2t, 2)$ と表せる。

$\vec{PQ} = (-1-t-(1-s), 3+2t-(3+s), 2-(-s)) = (-2-t+s, 2t-s, 2+s)$.

$PQ$ が最小となるのは、$\vec{PQ}$ が $\vec{v}$ と $\vec{d}$ の両方に垂直なときである。

$\vec{PQ} \cdot \vec{v} = (-2-t+s)(-1) + (2t-s)(1) + (2+s)(-1) = 2+t-s+2t-s-2-s = 3t-3s = 0$.

$\vec{PQ} \cdot \vec{d} = (-2-t+s)(-1) + (2t-s)(2) + (2+s)(0) = 2+t-s+4t-2s = 5t-3s+2 = 0$.

$3t = 3s$ より $t = s$.

$5t-3s+2 = 5s-3s+2 = 2s+2 = 0$ より $s = -1$.

$t = -1$.

$P = (1-(-1), 3+(-1), -(-1)) = (2, 2, 1)$.

$Q = (-1-(-1), 3+2(-1), 2) = (0, 1, 2)$.

$\vec{PQ} = (0-2, 1-2, 2-1) = (-2, -1, 1)$.

$PQ = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.

3. 最終的な答え

(1) $l$ と $m$ は交わらない（証明終わり）。

(2) $PQ$ の最小値は $\sqrt{6}$。