点(6, 3, -4)を通り、ベクトル(-1, 1, 4)に平行な直線$l$と、点(2, 4, 6)を中心とする半径3の球面との交点の座標を求める。

1. 問題の内容

点(6, 3, -4)を通り、ベクトル(-1, 1, 4)に平行な直線$l$と、点(2, 4, 6)を中心とする半径3の球面との交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線$l$のパラメータ表示を求める。

直線$l$は点(6, 3, -4)を通り、方向ベクトルが(-1, 1, 4)であるから、パラメータ$t$を用いて次のように表せる。

$x = 6 - t$

$y = 3 + t$

$z = -4 + 4t$

次に、中心(2, 4, 6)、半径3の球面の方程式を求める。

球面の式は次のようになる。

$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 6)^2 = 3^2 = 9$

直線$l$と球面の交点を求めるには、直線$l$のパラメータ表示を球面の方程式に代入する。

$(6 - t - 2)^2 + (3 + t - 4)^2 + (-4 + 4t - 6)^2 = 9$

$(4 - t)^2 + (t - 1)^2 + (4t - 10)^2 = 9$

$16 - 8t + t^2 + t^2 - 2t + 1 + 16t^2 - 80t + 100 = 9$

$18t^2 - 90t + 117 = 9$

$18t^2 - 90t + 108 = 0$

$2t^2 - 10t + 12 = 0$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

$(t - 2)(t - 3) = 0$

したがって、$t = 2$ または $t = 3$。

$t = 2$ のとき：

$x = 6 - 2 = 4$

$y = 3 + 2 = 5$

$z = -4 + 4(2) = 4$

よって、交点の座標は(4, 5, 4)。

$t = 3$ のとき：

$x = 6 - 3 = 3$

$y = 3 + 3 = 6$

$z = -4 + 4(3) = 8$

よって、交点の座標は(3, 6, 8)。

3. 最終的な答え

交点の座標は(4, 5, 4)と(3, 6, 8)。