$xyz$ 座標空間内の3点 $A = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答える。 (1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式を求め、その直線を集合として表す。 (2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を標準形で求め、その平面を集合として表す。

1. 問題の内容

$xyz$ 座標空間内の3点 $A = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答える。

(1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式を求め、その直線を集合として表す。

(2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を標準形で求め、その平面を集合として表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、方向ベクトルを求める。

$\vec{AB} = B - A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

方向ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ としても良い。

したがって、直線上の点を $P(x, y, z)$ とすると、直線のベクトル方程式は

$\vec{OP} = \vec{OA} + t \vec{AB}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2t \\ 2t \\ 1 + 2t \end{bmatrix}$

したがって、

$x = -1 + 2t$

$y = 2t$

$z = 1 + 2t$

直線を表す集合は

$\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = -1 + 2t, y = 2t, z = 1 + 2t, t \in \mathbb{R} \}$

あるいは、$x = -1 + y$, $z = 1 + y$ より

$\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y = -1, z - y = 1 \}$

(2)

平面の方程式を $ax + by + cz = d$ とおく。

$A, B, C$ を通るので、

$-a + c = d$

$a + 2b + 3c = d$

$3a + 3c = d$

$A, B, C$ を通る平面上の任意の点 $P(x, y, z)$ を考えると、ベクトル $\vec{AP}$, $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ は同一平面上にあるため、

$\vec{AP} \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC}) = 0$

$\vec{AP} = \begin{bmatrix} x + 1 \\ y \\ z - 1 \end{bmatrix}$

$\vec{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\vec{AC} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \end{bmatrix}$

$\vec{AP} \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC}) = 4(x+1) + 4y - 8(z-1) = 0$

$4x + 4 + 4y - 8z + 8 = 0$

$4x + 4y - 8z = -12$

$x + y - 2z = -3$

したがって、平面の方程式は $x + y - 2z = -3$

平面を表す集合は

$\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = -3 \}$

3. 最終的な答え

(1) 直線のベクトル方程式： $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

直線の集合表現： $\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = -3 \}$

(2) 平面の方程式：$x + y - 2z = -3$

平面の集合表現： $\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = -3 \}$