$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan{\theta} = 2$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan{\theta} = 2$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ である。

$\tan{\theta} = 2$ より、$\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = 2$ である。よって、$\sin{\theta} = 2\cos{\theta}$ が成り立つ。

また、三角関数の基本的な関係式として、

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

がある。

$\sin{\theta} = 2\cos{\theta}$ を代入すると、

$(2\cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$4\cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$5\cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{5}$

$\cos{\theta} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\theta$ の動径は第3象限にあるので、$\cos{\theta} < 0$ である。よって、

$\cos{\theta} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin{\theta} = 2\cos{\theta}$ より、

$\sin{\theta} = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$