問題は以下の3つの立体の体積と表面積を求める問題です。 (1) 円柱 (底面の半径3cm, 高さ7cm) (2) 正四角錐 (底面の1辺6cm, 高さ4cm, 側面を構成する三角形の高さ5cm) (3) 半球 (半径12cm)

1. 問題の内容

問題は以下の3つの立体の体積と表面積を求める問題です。

(1) 円柱 (底面の半径3cm, 高さ7cm)

(2) 正四角錐 (底面の1辺6cm, 高さ4cm, 側面を構成する三角形の高さ5cm)

(3) 半球 (半径12cm)

2. 解き方の手順

(1) 円柱

* 体積: 円柱の体積は、底面積 × 高さで求められます。底面積は円なので、$\pi r^2$で計算します。ここで$r$は底面の半径です。

$V = \pi r^2 h$

* 表面積: 円柱の表面積は、側面積 + 2 × 底面積で求められます。側面積は $2\pi r h$ 、底面積は $\pi r^2$ です。

$S = 2\pi r h + 2\pi r^2$

(2) 正四角錐

* 体積: 角錐の体積は、$\frac{1}{3} \times$ 底面積 × 高さで求められます。底面積は正方形なので、$a^2$で計算します。ここで、$a$は底面の1辺の長さです。

$V = \frac{1}{3} a^2 h$

* 表面積: 正四角錐の表面積は、底面積 + 4 × 側面積で求められます。側面積を構成する三角形の面積は、$\frac{1}{2} a l$ で計算します。ここで、$l$は側面を構成する三角形の高さです。

$S = a^2 + 4 \times \frac{1}{2} a l = a^2 + 2 a l$

(3) 半球

* 体積: 球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ です。半球の体積は、これを半分にしたものです。

$V = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$

* 表面積: 球の表面積は $4\pi r^2$ です。半球の表面積は、半球面 + 底面(円) で計算します。半球面は球の表面積の半分なので、$2\pi r^2$ です。

$S = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

それでは、数値を代入して計算します。

(1) 円柱:

体積: $V = \pi (3)^2 (7) = 63\pi$

表面積: $S = 2\pi (3) (7) + 2\pi (3)^2 = 42\pi + 18\pi = 60\pi$

(2) 正四角錐:

体積: $V = \frac{1}{3} (6)^2 (4) = \frac{1}{3} (36)(4) = 48$

表面積: $S = (6)^2 + 2 (6) (5) = 36 + 60 = 96$

(3) 半球:

体積: $V = \frac{2}{3} \pi (12)^3 = \frac{2}{3} \pi (1728) = 1152\pi$

表面積: $S = 3\pi (12)^2 = 3\pi (144) = 432\pi$

3. 最終的な答え

(1) 円柱

* 体積: $63\pi$ cm³

* 表面積: $60\pi$ cm²

(2) 正四角錐

* 体積: $48$ cm³

* 表面積: $96$ cm²

(3) 半球

* 体積: $1152\pi$ cm³

* 表面積: $432\pi$ cm²