直角二等辺三角形ABCの辺上に頂点を持つ長方形PQCRを作る。長方形の面積が$6 \text{ cm}^2$以上$12 \text{ cm}^2$以下となる$x$の範囲を求める。ただし、$BC = 7 \text{ cm}$、$QC = x \text{ cm}$である。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCの辺上に頂点を持つ長方形PQCRを作る。長方形の面積が$6 \text{ cm}^2$以上$12 \text{ cm}^2$以下となる$x$の範囲を求める。ただし、$BC = 7 \text{ cm}$、$QC = x \text{ cm}$である。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCが直角二等辺三角形であることから、$AC = BC = 7 \text{ cm}$である。

次に、三角形APQも直角二等辺三角形である。したがって、$AQ = AP$。

$AQ = AC - QC = 7 - x$なので、$AP = 7 - x$。

長方形PQCRの面積は、$PQ \times QC$で求められる。$PQ = RC = BC - BR$である。

また、四角形PQCRが長方形なので、$BR = QC = x$である。

したがって、$PQ = 7 - x$。

長方形の面積は、$x(7 - x)$となる。

問題文より、長方形の面積が$6 \text{ cm}^2$以上$12 \text{ cm}^2$以下なので、

$6 \le x(7-x) \le 12$。

これを満たす$x$の範囲を求める。

まず、$6 \le x(7-x)$から、$6 \le 7x - x^2$。整理すると、$x^2 - 7x + 6 \le 0$。

$(x - 1)(x - 6) \le 0$より、$1 \le x \le 6$。

次に、$x(7-x) \le 12$から、$7x - x^2 \le 12$。整理すると、$x^2 - 7x + 12 \ge 0$。

$(x - 3)(x - 4) \ge 0$より、$x \le 3$または$x \ge 4$。

したがって、$1 \le x \le 3$または$4 \le x \le 6$。

また、$x$は長方形の辺の長さなので、$0 < x < 7$を満たす。上記の範囲はこれを満たしている。

3. 最終的な答え

$1 \le x \le 3$または$4 \le x \le 6$