$xyz$空間において、点$C(0, 2, 2)$を中心とする球面$x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=1$と点$A(0, 0, 3)$がある。 球面上の点$P$と点$A$を通る直線が$xy$平面と交わるとき、その交点を$Q(a, b, 0)$とする。 (1) 点$C$を通る直線が直線$AQ$と垂直に交わるとき、その交点を$H$とする。 $\vec{AH} = k\vec{AQ}$を満たす実数$k$を$a$, $b$で表せ。 (2) (1)で求めた点$H$について、線分$CH$の長さを$a$, $b$で表せ。 (3) 点$P$が球面上を動くとき、点$Q$の存在範囲を式で表し、$xy$平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

$xyz$空間において、点$C(0, 2, 2)$を中心とする球面$x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=1$と点$A(0, 0, 3)$がある。 球面上の点$P$と点$A$を通る直線が$xy$平面と交わるとき、その交点を$Q(a, b, 0)$とする。

(1) 点$C$を通る直線が直線$AQ$と垂直に交わるとき、その交点を$H$とする。 $\vec{AH} = k\vec{AQ}$を満たす実数$k$を$a$, $b$で表せ。

(2) (1)で求めた点$H$について、線分$CH$の長さを$a$, $b$で表せ。

(3) 点$P$が球面上を動くとき、点$Q$の存在範囲を式で表し、$xy$平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{AQ} = (a, b, -3)$

点Hは直線AQ上にあるので、$H = (ka, kb, 3-3k)$と表せる。

$\vec{CH} = (ka, kb-2, 1-3k)$

$\vec{CH} \cdot \vec{AQ} = 0$なので、

$ka^2 + b(kb-2) -3(1-3k) = 0$

$ka^2 + kb^2 -2b -3 + 9k = 0$

$k(a^2 + b^2 + 9) = 2b + 3$

$k = \frac{2b+3}{a^2+b^2+9}$

(2)

$H = (ka, kb, 3-3k)$より、

$\vec{CH} = (ka, kb-2, 1-3k)$

$CH^2 = (ka)^2 + (kb-2)^2 + (1-3k)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 -4kb + 4 + 1 -6k + 9k^2$

$= k^2(a^2 + b^2 + 9) -4kb -6k + 5$

$k = \frac{2b+3}{a^2+b^2+9}$を代入して

$CH^2 = (\frac{2b+3}{a^2+b^2+9})^2 (a^2 + b^2 + 9) -4b(\frac{2b+3}{a^2+b^2+9}) -6(\frac{2b+3}{a^2+b^2+9}) + 5$

$= \frac{(2b+3)^2}{a^2+b^2+9} - \frac{8b^2+12b}{a^2+b^2+9} - \frac{12b+18}{a^2+b^2+9} + 5$

$= \frac{4b^2 + 12b + 9 -8b^2 -12b -12b -18}{a^2+b^2+9} + 5 = \frac{-4b^2 -12b -9}{a^2+b^2+9} + 5 = \frac{-4b^2 -12b -9 + 5a^2 + 5b^2 + 45}{a^2+b^2+9} = \frac{5a^2 + b^2 - 12b + 36}{a^2+b^2+9}$

$CH = \sqrt{\frac{5a^2 + b^2 - 12b + 36}{a^2+b^2+9}}$

(3)

点Pは球面上にあるので、$P = (x, y, z)$とおくと、$x^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 1$を満たす。

直線APの方程式は、$\frac{x-0}{a-0} = \frac{y-0}{b-0} = \frac{z-3}{0-3}$となる。

$x = \frac{a}{b}y$, $z = 3 - 3\frac{y}{b}$. これらを球面の方程式に代入すると、

$(\frac{a}{b}y)^2 + (y-2)^2 + (3-3\frac{y}{b}-2)^2 = 1$

$\frac{a^2}{b^2}y^2 + y^2 -4y + 4 + (1-\frac{3y}{b})^2 = 1$

$\frac{a^2}{b^2}y^2 + y^2 -4y + 4 + 1 - \frac{6y}{b} + \frac{9y^2}{b^2} = 1$

$(\frac{a^2}{b^2} + 1 + \frac{9}{b^2})y^2 - (4+\frac{6}{b})y + 4 = 0$

$(\frac{a^2+b^2+9}{b^2})y^2 - (\frac{4b+6}{b})y + 4 = 0$

$(a^2+b^2+9)y^2 - b(4b+6)y + 4b^2 = 0$

この2次方程式が実数解を持つためには、判別式が0以上である必要がある。

$D = b^2(4b+6)^2 - 4(a^2+b^2+9)(4b^2) \ge 0$

$b^2(16b^2 + 48b + 36) - 16b^2(a^2+b^2+9) \ge 0$

$16b^4 + 48b^3 + 36b^2 - 16a^2b^2 - 16b^4 - 144b^2 \ge 0$

$48b^3 - 108b^2 - 16a^2b^2 \ge 0$

$12b^2(4b - 9 - \frac{4}{3}a^2) \ge 0$

$4b - 9 - \frac{4}{3}a^2 \ge 0$

$4b \ge \frac{4}{3}a^2 + 9$

$b \ge \frac{1}{3}a^2 + \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $k = \frac{2b+3}{a^2+b^2+9}$

(2) $CH = \sqrt{\frac{5a^2 + b^2 - 12b + 36}{a^2+b^2+9}}$

(3) $b \ge \frac{1}{3}a^2 + \frac{9}{4}$