P市にできた電波塔「Pツリー」の高さを、3つの公園A, B, Cから測った角度と距離を使って求める問題。AB=200m, BC=600m, ∠THA = ∠THB + 31°, ∠THC = 17°。tan31° = 0.6, tan17° = 0.3として、ツリーの高さTH = h(m)を求める。

1. 問題の内容

P市にできた電波塔「Pツリー」の高さを、3つの公園A, B, Cから測った角度と距離を使って求める問題。AB=200m, BC=600m, ∠THA = ∠THB + 31°, ∠THC = 17°。tan31° = 0.6, tan17° = 0.3として、ツリーの高さTH = h(m)を求める。

2. 解き方の手順

(1) AH, BH, CHをhで表す。

AH = h / tan∠THA

BH = h / tan∠THB

CH = h / tan∠THC

(2) AH - BH = AB より、

$h / tan∠THA - h / tan∠THB = 200$

∠THA = ∠THB + 31° より、tan∠THA = tan(∠THB + 31°)

ここで、タンジェントの加法定理を用いる。

tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)

よってtan∠THA = (tan∠THB + 0.6)/(1 - 0.6 * tan∠THB)。　これは複雑になるので、別の解き方をする。

(3) CH - BHを求める

CH - BH = BC

h / tan17° - h / tan∠THB = 600

h / 0.3 - h / tan∠THB = 600

h (1 / 0.3 - 1 / tan∠THB) = 600

h (tan∠THB - 0.3) / (0.3 * tan∠THB) = 600

tan∠THB = 0.3h / (h - 180)

(4) AHの算出

三角形ABCに対して余弦定理を用いる

AC² = AB² + BC² - 2*AB*BC*cos∠ABC

AH² = AB² + BH² -2 * AB *BH *cos∠ABH

∠ABHのcosを計算する。

(5)

問題用紙に手書きで計算が書かれている。

$CH^2 = BH^2 + BC^2 - 2BH*BC cos∠HBC$

3. 最終的な答え

問題用紙に最終的な答えが書いていないため、算出できません。