(1) 3点P(1, 3, 3), Q(3, 3, 1), R(4, 2, 5)が与えられたとき、ベクトル$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$の成分と、$\overrightarrow{PQ}$と$\overrightarrow{PR}$を2辺とする平行四辺形の面積Sを求める。 (2) 3点P(4, -3, 2), Q(7, -2, -1), R(6, -5, 3)を通る平面の方程式を、行列式を用いて求める。

1. 問題の内容

(1) 3点P(1, 3, 3), Q(3, 3, 1), R(4, 2, 5)が与えられたとき、ベクトル$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$の成分と、$\overrightarrow{PQ}$と$\overrightarrow{PR}$を2辺とする平行四辺形の面積Sを求める。

(2) 3点P(4, -3, 2), Q(7, -2, -1), R(6, -5, 3)を通る平面の方程式を、行列式を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、ベクトル$\overrightarrow{PQ}$と$\overrightarrow{PR}$を計算する。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (3-1, 3-3, 1-3) = (2, 0, -2)$

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = (4-1, 2-3, 5-3) = (3, -1, 2)$

次に、外積$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$を計算する。

$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (0\cdot2 - (-2)\cdot(-1))\vec{i} - (2\cdot2 - (-2)\cdot3)\vec{j} + (2\cdot(-1) - 0\cdot3)\vec{k} = -2\vec{i} - 10\vec{j} - 2\vec{k}$

よって、$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = (-2, -10, -2)$

平行四辺形の面積Sは、外積の絶対値で与えられる。

$S = |\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}| = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 100 + 4} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$

(2)

求める平面の方程式を

$ax + by + cz + d = 0$

とする。この平面が点P, Q, Rを通るので、以下の式が成り立つ。

$4a - 3b + 2c + d = 0$

$7a - 2b - c + d = 0$

$6a - 5b + 3c + d = 0$

これらの式からdを消去するために、一つ目の式を引く。

$3a + b - 3c = 0$

$2a - 2b + c = 0$

さらに、行列式を使う方法がある。平面上の任意の点(x, y, z)に対して、

$\begin{vmatrix} x - 4 & y + 3 & z - 2 \\ 7 - 4 & -2 + 3 & -1 - 2 \\ 6 - 4 & -5 + 3 & 3 - 2 \end{vmatrix} = 0$

$\begin{vmatrix} x - 4 & y + 3 & z - 2 \\ 3 & 1 & -3 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$

$(x-4)(1\cdot1 - (-3)\cdot(-2)) - (y+3)(3\cdot1 - (-3)\cdot2) + (z-2)(3\cdot(-2) - 1\cdot2) = 0$

$(x-4)(1 - 6) - (y+3)(3 + 6) + (z-2)(-6 - 2) = 0$

$-5(x-4) - 9(y+3) - 8(z-2) = 0$

$-5x + 20 - 9y - 27 - 8z + 16 = 0$

$-5x - 9y - 8z + 9 = 0$

$5x + 9y + 8z - 9 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = (-2, -10, -2)$, $S = 6\sqrt{3}$

(2) $5x + 9y + 8z - 9 = 0$