平面上の4点 $O(0,0)$, $A(0,3)$, $B(1,0)$, $C(3,0)$ が与えられています。点 $P$ が線分 $OA$ 上を動くとき、$\sin \angle BPC$ の最大値とその最大値を与える点 $P$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

平面上の4点 $O(0,0)$, $A(0,3)$, $B(1,0)$, $C(3,0)$ が与えられています。点 $P$ が線分 $OA$ 上を動くとき、$\sin \angle BPC$ の最大値とその最大値を与える点 $P$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $P$ は線分 $OA$ 上にあるので、点 $P$ の座標は $(0, p)$ とおくことができます。ただし、$0 \le p \le 3$ です。

ベクトル $\overrightarrow{PB} = (1, -p)$、$\overrightarrow{PC} = (3, -p)$ となります。

$\overrightarrow{PB}$ と $\overrightarrow{PC}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PB}| |\overrightarrow{PC}|} = \frac{1 \cdot 3 + (-p) \cdot (-p)}{\sqrt{1^2 + (-p)^2} \sqrt{3^2 + (-p)^2}} = \frac{3+p^2}{\sqrt{(1+p^2)(9+p^2)}}$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{(3+p^2)^2}{(1+p^2)(9+p^2)} = \frac{(1+p^2)(9+p^2) - (3+p^2)^2}{(1+p^2)(9+p^2)} = \frac{9+10p^2+p^4 - (9+6p^2+p^4)}{(1+p^2)(9+p^2)} = \frac{4p^2}{(1+p^2)(9+p^2)}$

$\sin \theta = \frac{2p}{\sqrt{(1+p^2)(9+p^2)}}$

$\sin \angle BPC$ を最大にする $p$ を求めるために、$\sin^2 \angle BPC$ を最大にする $p$ を求めることを考えます。

$\sin^2 \theta = \frac{4p^2}{(1+p^2)(9+p^2)} = \frac{4p^2}{9+10p^2+p^4} = \frac{4}{\frac{9}{p^2}+10+p^2}$

$\frac{9}{p^2}+p^2$ が最小となるときに、$\sin^2 \theta$ は最大となります。

相加相乗平均より $\frac{9}{p^2}+p^2 \ge 2 \sqrt{\frac{9}{p^2} \cdot p^2} = 2 \cdot 3 = 6$

等号成立は $\frac{9}{p^2} = p^2$ より $p^4 = 9$、$p^2 = 3$、$p = \sqrt{3}$ のとき。

したがって、$p = \sqrt{3}$ のとき $\sin \theta$ は最大となり、その最大値は $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{(1+3)(9+3)}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4 \cdot 12}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{48}} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \angle BPC$ の最大値は $\frac{1}{2}$ であり、そのときの点 $P$ の座標は $(0, \sqrt{3})$ である。