半径がそれぞれ $a$, $a$, $2a$ である3つの円 $C_1, C_2, C_3$ がある。半径1の円 $C$ にこれらが内接し、$C_1, C_2, C_3$ は互いに外接しているとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径がそれぞれ $a$, $a$, $2a$ である3つの円 $C_1, C_2, C_3$ がある。半径1の円 $C$ にこれらが内接し、$C_1, C_2, C_3$ は互いに外接しているとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円 $C_1, C_2, C_3$ の中心をそれぞれ $P_1, P_2, P_3$ とすると、$P_1P_2 = a+a = 2a$, $P_2P_3 = a+2a = 3a$, $P_1P_3 = a+2a = 3a$ となる。したがって、三角形 $P_1P_2P_3$ は $P_2P_3 = P_1P_3$ の二等辺三角形である。

次に、円 $C$ の中心を $O$ とする。$OP_1 = 1-a$, $OP_2 = 1-a$, $OP_3 = 1-2a$ となる。

ここで、座標を設定する。$P_1$を $(0,0)$ に、$P_2$ を $(2a,0)$ に配置する。すると、$P_3$ の座標は $(a, \sqrt{(3a)^2 - a^2}) = (a, 2\sqrt{2}a)$ となる。

$O$ の座標を $(x,y)$ とすると、

$x^2 + y^2 = (1-a)^2$

$(x-2a)^2 + y^2 = (1-a)^2$

$(x-a)^2 + (y-2\sqrt{2}a)^2 = (1-2a)^2$

最初の2式より、

$x^2 + y^2 = (x-2a)^2 + y^2$

$x^2 = x^2 - 4ax + 4a^2$

$4ax = 4a^2$

$x = a$

したがって、

$a^2 + y^2 = (1-a)^2$

$y^2 = (1-a)^2 - a^2 = 1 - 2a$

$y = \sqrt{1-2a}$

3番目の式に代入すると、

$(a-a)^2 + (\sqrt{1-2a} - 2\sqrt{2}a)^2 = (1-2a)^2$

$(\sqrt{1-2a} - 2\sqrt{2}a)^2 = (1-2a)^2$

$1-2a - 4\sqrt{2}\sqrt{1-2a}a + 8a^2 = 1 - 4a + 4a^2$

$2a + 4a^2 = 4\sqrt{2}a\sqrt{1-2a}$

$2a(1+2a) = 4\sqrt{2}a\sqrt{1-2a}$

$1+2a = 2\sqrt{2}\sqrt{1-2a}$

$(1+2a)^2 = 8(1-2a)$

$1+4a+4a^2 = 8 - 16a$

$4a^2 + 20a - 7 = 0$

$a = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 4(4)(-7)}}{8} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 112}}{8} = \frac{-20 \pm \sqrt{512}}{8} = \frac{-20 \pm 16\sqrt{2}}{8} = \frac{-5 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$a > 0$ より、$a = \frac{-5 + 4\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{4\sqrt{2}-5}{2}$