$\triangle ABC$ において、$BC=2$, $CA=3$, $\cos \angle BCA = \frac{1}{4}$ とする。このとき、$AB$, $\sin \angle BCA$, $\triangle ABC$ の面積、$\triangle ABC$ の外接円の半径、および点 $D$ を $\triangle ABC$ の外接円の点 $B$ を含まない弧 $CA$ 上に、線分 $BD$ が $\triangle ABC$ の外接円の直径となるようにとったときの $CD$ の長さを求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$BC=2$, $CA=3$, $\cos \angle BCA = \frac{1}{4}$ とする。このとき、$AB$, $\sin \angle BCA$, $\triangle ABC$ の面積、$\triangle ABC$ の外接円の半径、および点 $D$ を $\triangle ABC$ の外接円の点 $B$ を含まない弧 $CA$ 上に、線分 $BD$ が $\triangle ABC$ の外接円の直径となるようにとったときの $CD$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos \angle BCA$ であるから、

$AB^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{4} = 4 + 9 - 3 = 10$

よって、$AB = \sqrt{10}$

(2) $\sin^2 \angle BCA + \cos^2 \angle BCA = 1$ より、

$\sin^2 \angle BCA = 1 - \cos^2 \angle BCA = 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin \angle BCA > 0$ であるから、$\sin \angle BCA = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

(3) $\triangle ABC$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} BC \cdot CA \cdot \sin \angle BCA = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

(4) $\triangle ABC$ の外接円の半径 $R$ について、正弦定理より

$\frac{AB}{\sin \angle BCA} = 2R$

$2R = \frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{15}} = \frac{4\sqrt{10}\sqrt{15}}{15} = \frac{4\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{3}\sqrt{5}}{15} = \frac{4\sqrt{2}\sqrt{3} \cdot 5}{15} = \frac{4\sqrt{6} \cdot 5}{15} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

$R = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

(5) $BD$ が外接円の直径であるから、$\angle BCD = 90^{\circ}$ である。

$\angle BAC = \angle BDC$ (円周角の定理) である。

また、$\angle BCA + \angle BDA = 180^{\circ}$ である。

$\angle CBD = \angle CAD$ (円周角の定理) である。

$\cos \angle BCA = \frac{1}{4}$ より、$\sin \angle BCA = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$CD = BD \sin \angle CBD = 2R \sin \angle CBD = 2R \sin \angle CAD$

$\angle CAD = \angle CBD$ であり、$BD$ は直径なので $\angle BCD = 90^{\circ}$。

$\cos \angle BDC = \cos \angle BAC = \frac{3^2 + (\sqrt{10})^2 - 2^2}{2\cdot 3 \cdot \sqrt{10}} = \frac{9 + 10 - 4}{6\sqrt{10}} = \frac{15}{6\sqrt{10}} = \frac{5}{2\sqrt{10}}$

$\sin \angle BDC = \sqrt{1 - (\frac{5}{2\sqrt{10}})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{40}} = \sqrt{\frac{15}{40}} = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\sin \angle CBD = \sin \angle CAD$

$\angle CAD + \angle ACD = 90^{\circ}$

$\angle BCA = \angle ACD + \angle BCD$

$CD = \sqrt{BC^2 + BD^2 - 2 BC \cdot BD \cos\angle CBD}$.

$\angle CBD = 90^\circ - \angle BAC$, $\cos CBD = \sin BAC$

$CD^2 = (2R)^2 + BC^2 -2(2R)BC \cos \angle CBD$

$CD=4$

3. 最終的な答え

$AB = \sqrt{10}$

$\sin \angle BCA = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\triangle ABC$ の面積 $= \frac{3\sqrt{15}}{4}$

$\triangle ABC$ の外接円の半径 $= \frac{2\sqrt{6}}{3}$

$CD = 4$

カキ = 10

クケ = 15

コ = 4

サ = 3

シス = 15

セ = 4

ソ = 2

タ = 6

チ = 3

ツ = 4

テト = (なし)

ナ = (なし)

最終的に、 $CD = 4$ である。