四角形ABCDに関する条件 $p$, $q$, $r$ が与えられている。 $p$: $AC \perp BD$ （対角線が直交） $q$: $AB=DC$ かつ $AD // BC$ （$AB=DC$ かつ $AD$と$BC$が平行） $r$: 四角形ABCDは平行四辺形である。 条件$p$, $q$, $r$ の否定をそれぞれ$\bar{p}$, $\bar{q}$, $\bar{r}$で表す。 (1) 命題「$p$ならば$r$」に対する反例となる四角形と、命題「$q$ならば$r$」に対する反例となる四角形を、選択肢の中から選ぶ。 (2) 条件$q$の否定 $\bar{q}$ を選択肢の中から選ぶ。

1. 問題の内容

四角形ABCDに関する条件 $p$, $q$, $r$ が与えられている。

$p$: $AC \perp BD$ （対角線が直交）

$q$: $AB=DC$ かつ $AD // BC$ （$AB=DC$ かつ $AD$と$BC$が平行）

$r$: 四角形ABCDは平行四辺形である。

条件$p$, $q$, $r$ の否定をそれぞれ$\bar{p}$, $\bar{q}$, $\bar{r}$で表す。

(1) 命題「$p$ならば$r$」に対する反例となる四角形と、命題「$q$ならば$r$」に対する反例となる四角形を、選択肢の中から選ぶ。

(2) 条件$q$の否定 $\bar{q}$ を選択肢の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 命題「$p$ならば$r$」の反例は、$p$を満たすが$r$を満たさない四角形である。

選択肢の中で、$AC \perp BD$であるが平行四辺形ではないものは、図5である。

命題「$q$ならば$r$」の反例は、$q$を満たすが$r$を満たさない四角形である。

$q$は、$AB=DC$ かつ $AD // BC$ なので、等脚台形であれば$q$を満たす。図3は等脚台形であるが、平行四辺形ではないので、$r$を満たさない。

(2) 条件$q$の否定 $\bar{q}$ は、$AB \neq DC$ または $AD \not // BC$ である。

これは選択肢1に該当する。

3. 最終的な答え

ア: 5

イ: 3

ウ: 1