与えられた楕円の方程式について、以下の情報を求める問題です。 (1) $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{16} = 1$ (2) $9x^2 + y^2 = 9$ (3) $9x^2 + 16y^2 = 9$ 各楕円について、焦点の座標、長軸の長さ、短軸の長さを求め、概形を描きます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順を追って解答します。

1. 問題の内容

与えられた楕円の方程式について、以下の情報を求める問題です。

(1) $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{16} = 1$

(2) $9x^2 + y^2 = 9$

(3) $9x^2 + 16y^2 = 9$

各楕円について、焦点の座標、長軸の長さ、短軸の長さを求め、概形を描きます。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{16} = 1$

この式は、楕円の標準形 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ であり、$a^2 = 49$、$b^2 = 16$ です。

したがって、$a = 7$、$b = 4$ です。長軸はx軸上にあり、短軸はy軸上にあります。

長軸の長さは $2a = 2 \times 7 = 14$、短軸の長さは $2b = 2 \times 4 = 8$ です。

焦点の座標は $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ であり、$c = \sqrt{49 - 16} = \sqrt{33}$ となります。

したがって、焦点の座標は $(\pm \sqrt{33}, 0)$ です。

(2) $9x^2 + y^2 = 9$

この式を標準形にするために、両辺を9で割ります。

$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{9} = 1$

この式は、楕円の標準形 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ であり、$a^2 = 1$、$b^2 = 9$ です。

したがって、$a = 1$、$b = 3$ です。長軸はy軸上にあり、短軸はx軸上にあります。

長軸の長さは $2b = 2 \times 3 = 6$、短軸の長さは $2a = 2 \times 1 = 2$ です。

焦点の座標は $(0, \pm \sqrt{b^2 - a^2})$ であり、$c = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ となります。

したがって、焦点の座標は $(0, \pm 2\sqrt{2})$ です。

(3) $9x^2 + 16y^2 = 9$

この式を標準形にするために、両辺を9で割ります。

$\frac{x^2}{1} + \frac{16y^2}{9} = 1$

$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{\frac{9}{16}} = 1$

この式は、楕円の標準形 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ であり、$a^2 = 1$、$b^2 = \frac{9}{16}$ です。

したがって、$a = 1$、$b = \frac{3}{4}$ です。長軸はx軸上にあり、短軸はy軸上にあります。

長軸の長さは $2a = 2 \times 1 = 2$、短軸の長さは $2b = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$ です。

焦点の座標は $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ であり、$c = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ となります。

したがって、焦点の座標は $(\pm \frac{\sqrt{7}}{4}, 0)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{16} = 1$

焦点の座標: $(\pm \sqrt{33}, 0)$

長軸の長さ: $14$

短軸の長さ: $8$

(2) $9x^2 + y^2 = 9$

焦点の座標: $(0, \pm 2\sqrt{2})$

長軸の長さ: $6$

短軸の長さ: $2$

(3) $9x^2 + 16y^2 = 9$

焦点の座標: $(\pm \frac{\sqrt{7}}{4}, 0)$

長軸の長さ: $2$

短軸の長さ: $\frac{3}{2}$