三角形ABCがあり、$AB=9$, $AC=6$である。角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Bを通る円Oがあり、円Oは点Cで直線ACに接している。また、円Oと辺ABの交点のうち、点Bでない方の点をEとする。 (1) $BD:DC$を最も簡単な整数の比で表す。 (2) 線分AEの長さを求め、線分ADと線分CEの交点をFとするとき、$AF:FD$を最も簡単な整数の比で表す。 (3) (2)のとき、線分BFと線分DEの交点をGとする。$BG:GF$を最も簡単な整数の比で表し、三角形BCEの面積をSとするとき、三角形EGFの面積をSを用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB=9$, $AC=6$である。角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Bを通る円Oがあり、円Oは点Cで直線ACに接している。また、円Oと辺ABの交点のうち、点Bでない方の点をEとする。

(1) $BD:DC$を最も簡単な整数の比で表す。

(2) 線分AEの長さを求め、線分ADと線分CEの交点をFとするとき、$AF:FD$を最も簡単な整数の比で表す。

(3) (2)のとき、線分BFと線分DEの交点をGとする。$BG:GF$を最も簡単な整数の比で表し、三角形BCEの面積をSとするとき、三角形EGFの面積をSを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 9:6 = 3:2$。

(2) 円Oが点Cで直線ACに接しているので、接弦定理より$\angle CBE = \angle ACE$。

$\angle BAC$の二等分線をADとすると、$\angle BAD = \angle CAD$。

したがって、$\triangle ABE \sim \triangle ACB$。

よって、$AB:AC = AE:AB$が成り立つので、$9:6 = AE:9$。

$6AE = 81$より、$AE = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$。

メネラウスの定理を$\triangle BCD$と直線AEに適用すると、

$\frac{BA}{AE} \times \frac{EF}{FC} \times \frac{CD}{DB} = 1$

$\frac{9}{\frac{27}{2}} \times \frac{EF}{FC} \times \frac{2}{3} = 1$

$\frac{18}{27} \times \frac{EF}{FC} \times \frac{2}{3} = 1$

$\frac{2}{3} \times \frac{EF}{FC} \times \frac{2}{3} = 1$

$\frac{4}{9} \times \frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{EF}{FC} = \frac{9}{4}$

したがって、$CE = EF+FC = \frac{9}{4}FC+FC = \frac{13}{4}FC$

$CF:FE = 4:9$

メネラウスの定理を$\triangle ACE$と直線BDに適用すると、

$\frac{CB}{BD} \times \frac{DF}{FA} \times \frac{AE}{EC} = 1$

$\frac{5}{3} \times \frac{DF}{FA} \times \frac{27/2}{EC} = 1$

$\frac{5}{3} \times \frac{DF}{FA} \times \frac{27/2}{CE} = 1$

ここで、$CE = \frac{13}{4}FC$であるので、

$\frac{5}{3} \times \frac{DF}{FA} \times \frac{27}{2} \times \frac{4}{13FC} = 1$

$\frac{5}{3} \times \frac{DF}{FA} \times \frac{54}{13FC} = 1$

$\frac{5}{3} \times \frac{DF}{FA} \times \frac{27}{13FC} = 1$

$\frac{5}{3} \times \frac{DF}{FA} \times \frac{27/2}{(13/4)FC} = 1$

$\frac{5}{3} \times \frac{DF}{FA} \times \frac{54/4}{13/4} \times \frac{1}{FC}= 1$

$\frac{CB}{BD} \times \frac{DF}{FA} \times \frac{AE}{EC} = \frac{5}{3} \cdot \frac{DF}{FA} \cdot \frac{27/2}{6} = 1$

$\frac{DF}{FA} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{27} \times 6 \times \frac{3}{5} = \frac{45}{27} = \frac{1}{27} = \frac{5/3*27/2}{CE}$

$\frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} \cdot \frac{AE}{EC} = \frac{5}{3} \times \frac{DF}{FA} \times \frac{27/2}{EC} = 1$

$AF:FD = 3:10$.

3. 最終的な答え

(1) $BD:DC = 3:2$

(2) $AE = \frac{27}{2}$, $AF:FD = 3:10$