点 $(\sqrt{5}, 0)$ と $(-\sqrt{5}, 0)$ からの距離の差が 4 である点 P の軌跡を H とする。 (1) H の方程式を求めよ。 (2) H の漸近線を $l_1$, $l_2$ とする。H 上の点 P における H の接線を $l$ といい、$l$ と $l_1$, $l_2$ の交点をそれぞれ Q, R とするとき、P の位置によらず三角形 OQR の面積は一定であることを示せ。ただし、O は原点とする。

1. 問題の内容

点 $(\sqrt{5}, 0)$ と $(-\sqrt{5}, 0)$ からの距離の差が 4 である点 P の軌跡を H とする。

(1) H の方程式を求めよ。

(2) H の漸近線を $l_1$, $l_2$ とする。H 上の点 P における H の接線を $l$ といい、$l$ と $l_1$, $l_2$ の交点をそれぞれ Q, R とするとき、P の位置によらず三角形 OQR の面積は一定であることを示せ。ただし、O は原点とする。

2. 解き方の手順

(1)

点 P の座標を $(x, y)$ とする。点 $(\sqrt{5}, 0)$ と $(-\sqrt{5}, 0)$ からの距離の差が 4 であるから、

$| \sqrt{(x-\sqrt{5})^2 + y^2} - \sqrt{(x+\sqrt{5})^2 + y^2} | = 4$

$\sqrt{(x-\sqrt{5})^2 + y^2} - \sqrt{(x+\sqrt{5})^2 + y^2} = \pm 4$

$\sqrt{(x-\sqrt{5})^2 + y^2} = \sqrt{(x+\sqrt{5})^2 + y^2} \pm 4$

両辺を 2 乗して整理すると、

$(x-\sqrt{5})^2 + y^2 = (x+\sqrt{5})^2 + y^2 \pm 8 \sqrt{(x+\sqrt{5})^2 + y^2} + 16$

$-4x\sqrt{5} = \pm 8 \sqrt{(x+\sqrt{5})^2 + y^2} + 16$

$-x\sqrt{5} = \pm 2 \sqrt{(x+\sqrt{5})^2 + y^2} + 4$

$-x\sqrt{5} - 4 = \pm 2 \sqrt{(x+\sqrt{5})^2 + y^2}$

両辺を 2 乗して整理すると、

$5x^2 + 8x\sqrt{5} + 16 = 4((x+\sqrt{5})^2 + y^2)$

$5x^2 + 8x\sqrt{5} + 16 = 4(x^2 + 2x\sqrt{5} + 5 + y^2)$

$5x^2 + 8x\sqrt{5} + 16 = 4x^2 + 8x\sqrt{5} + 20 + 4y^2$

$x^2 - 4y^2 = 4$

$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$

(2)

H の方程式は $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$ であるから、漸近線は $y = \pm \frac{1}{2}x$ である。

したがって、$l_1: y = \frac{1}{2}x$, $l_2: y = -\frac{1}{2}x$ とする。

H 上の点 P を $(x_0, y_0)$ とする。H の接線 $l$ の方程式は、

$\frac{x_0 x}{4} - \frac{y_0 y}{1} = 1$

$l$ と $l_1$ の交点 Q は、$\frac{x_0 x}{4} - y_0 (\frac{1}{2}x) = 1$

$\frac{x_0 x}{4} - \frac{y_0 x}{2} = 1$

$x(\frac{x_0}{4} - \frac{y_0}{2}) = 1$

$x = \frac{1}{\frac{x_0}{4} - \frac{y_0}{2}} = \frac{4}{x_0 - 2y_0}$

$y = \frac{1}{2}x = \frac{2}{x_0 - 2y_0}$

したがって、Q の座標は $(\frac{4}{x_0 - 2y_0}, \frac{2}{x_0 - 2y_0})$

$l$ と $l_2$ の交点 R は、$\frac{x_0 x}{4} - y_0 (-\frac{1}{2}x) = 1$

$\frac{x_0 x}{4} + \frac{y_0 x}{2} = 1$

$x(\frac{x_0}{4} + \frac{y_0}{2}) = 1$

$x = \frac{1}{\frac{x_0}{4} + \frac{y_0}{2}} = \frac{4}{x_0 + 2y_0}$

$y = -\frac{1}{2}x = -\frac{2}{x_0 + 2y_0}$

したがって、R の座標は $(\frac{4}{x_0 + 2y_0}, -\frac{2}{x_0 + 2y_0})$

三角形 OQR の面積は、

$\frac{1}{2} | \frac{4}{x_0 - 2y_0} (-\frac{2}{x_0 + 2y_0}) - \frac{2}{x_0 - 2y_0} (\frac{4}{x_0 + 2y_0}) |$

$= \frac{1}{2} | \frac{-8}{(x_0 - 2y_0)(x_0 + 2y_0)} - \frac{8}{(x_0 - 2y_0)(x_0 + 2y_0)} |$

$= \frac{1}{2} | \frac{-16}{x_0^2 - 4y_0^2} | = \frac{1}{2} | \frac{-16}{4} | = \frac{1}{2} (4) = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$

(2) 三角形 OQR の面積は 2 である。