三角比の問題で、以下の2つの小問を解く必要があります。 (1) $\cos A = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin A$と$\tan A$の値を求める。 (2) $\sin A = \frac{3}{4}$ のとき、$\cos A$と$\tan A$の値を求める。

1. 問題の内容

三角比の問題で、以下の2つの小問を解く必要があります。

(1) $\cos A = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin A$と$\tan A$の値を求める。

(2) $\sin A = \frac{3}{4}$ のとき、$\cos A$と$\tan A$の値を求める。

2. 解き方の手順

三角比の相互関係を利用します。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$

(1) $\cos A = \frac{4}{5}$ の場合：

まず、$\sin A$を求めます。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin A = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$

$A$が鋭角であると仮定すると、$\sin A = \frac{3}{5}$

次に、$\tan A$を求めます。

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

(2) $\sin A = \frac{3}{4}$ の場合：

まず、$\cos A$を求めます。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\cos A = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$A$が鋭角であると仮定すると、$\cos A = \frac{\sqrt{7}}{4}$

次に、$\tan A$を求めます。

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{4} \times \frac{4}{\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A = \frac{3}{5}$, $\tan A = \frac{3}{4}$

(2) $\cos A = \frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan A = \frac{3\sqrt{7}}{7}$