直線 $y = -x + k$ と円 $x^2 + y^2 + 6x - 16 = 0$ について、以下の2つの問いに答える。 (1) 直線と円が共有点を持つときの $k$ の範囲を求める。 (2) 円と直線の2つの交点を結ぶ線分の長さが $7\sqrt{2}$ であるときの $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = -x + k$ と円 $x^2 + y^2 + 6x - 16 = 0$ について、以下の2つの問いに答える。

(1) 直線と円が共有点を持つときの $k$ の範囲を求める。

(2) 円と直線の2つの交点を結ぶ線分の長さが $7\sqrt{2}$ であるときの $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成する。

$x^2 + 6x + y^2 - 16 = 0$

$(x + 3)^2 - 9 + y^2 - 16 = 0$

$(x + 3)^2 + y^2 = 25 = 5^2$

よって、円の中心は $(-3, 0)$、半径は $5$ である。

直線 $y = -x + k$ を $x + y - k = 0$ と変形する。

円の中心と直線の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より

$d = \frac{|-3 + 0 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-3 - k|}{\sqrt{2}} = \frac{|k + 3|}{\sqrt{2}}$

直線と円が共有点を持つ条件は、$d \leq r$ であるから、

$\frac{|k + 3|}{\sqrt{2}} \leq 5$

$|k + 3| \leq 5\sqrt{2}$

$-5\sqrt{2} \leq k + 3 \leq 5\sqrt{2}$

$-3 - 5\sqrt{2} \leq k \leq -3 + 5\sqrt{2}$

(2) 弦の長さが $7\sqrt{2}$ であるとき、中心と直線の距離 $d$ を求める。

弦の中点をMとすると、円の中心をCとしたとき、三角形AMCは直角三角形になる。

弦の半分を $l$ とすると、$l = \frac{7\sqrt{2}}{2}$

三平方の定理より、$d^2 + l^2 = r^2$

$d^2 + (\frac{7\sqrt{2}}{2})^2 = 5^2$

$d^2 + \frac{49 \cdot 2}{4} = 25$

$d^2 + \frac{49}{2} = 25$

$d^2 = 25 - \frac{49}{2} = \frac{50 - 49}{2} = \frac{1}{2}$

$d = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{|k + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$|k + 3| = 1$

$k + 3 = 1$ または $k + 3 = -1$

$k = -2$ または $k = -4$

3. 最終的な答え

$k$ の範囲は $-3 - 5\sqrt{2} \leq k \leq -3 + 5\sqrt{2}$ である。

$k = -2, -4$