一辺の長さが2の正六角形$A_1$がある。その面積を$S_1$とする。$A_1$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_2$とし、その面積を$S_2$とする。以下同様に、正六角形$A_{n-1}$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_n$とし、その面積を$S_n$とする。 (1) $S_1$と$S_2$を求める。 (2) 数列$\{S_n\}$の一般項を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形$A_1$がある。その面積を$S_1$とする。$A_1$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_2$とし、その面積を$S_2$とする。以下同様に、正六角形$A_{n-1}$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_n$とし、その面積を$S_n$とする。

(1) $S_1$と$S_2$を求める。

(2) 数列$\{S_n\}$の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $S_1$の計算:

正六角形は、正三角形6個に分割できる。一辺の長さが2の正三角形の面積は、$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$である。したがって、$S_1 = 6\sqrt{3}$となる。

$S_2$の計算:

$A_2$は$A_1$の各辺の中点を頂点とする正六角形なので、$A_2$の一辺の長さは、$A_1$の一辺の長さの$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍になる。したがって、$A_2$の一辺の長さは、$2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$である。

$A_2$の面積$S_2$は、一辺の長さが$\sqrt{3}$の正三角形6個分の面積なので、$S_2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{3})^2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$となる。

(2) 数列$\{S_n\}$の一般項:

$A_n$の一辺の長さを$a_n$とすると、$a_1 = 2$である。$a_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{2} a_n$なので、数列$\{a_n\}$は公比$\frac{\sqrt{3}}{2}$の等比数列である。したがって、$a_n = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$となる。

$S_n$は、一辺の長さが$a_n$の正三角形6個分の面積なので、$S_n = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a_n^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_n^2$となる。

$a_n = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を代入して、$S_n = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4 \left( \frac{3}{4} \right)^{n-1} = 6\sqrt{3} \left( \frac{3}{4} \right)^{n-1}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 6\sqrt{3}$、$S_2 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

(2) $S_n = 6\sqrt{3} \left( \frac{3}{4} \right)^{n-1}$