双曲線 $x^2 - y^2 = -1$ の接線で、傾きが $-1$ であるものを求めよ。

1. 問題の内容

双曲線 $x^2 - y^2 = -1$ の接線で、傾きが $-1$ であるものを求めよ。

2. 解き方の手順

1. 接線の方程式を $y = -x + b$ とおく（傾きが $-1$ であることから）。

2. 双曲線の方程式 $x^2 - y^2 = -1$ に接線の方程式 $y = -x + b$ を代入する。

3. 代入して得られた $x$ の2次方程式が重解を持つ条件（判別式 $D = 0$）を求める。

4. 判別式 $D = 0$ から $b$ の値を求める。

5. 求めた $b$ の値を接線の方程式に代入して、接線の方程式を求める。

$x^2 - y^2 = -1$ に $y = -x + b$ を代入する。

$x^2 - (-x + b)^2 = -1$

$x^2 - (x^2 - 2bx + b^2) = -1$

$2bx - b^2 = -1$

$2bx - b^2 + 1 = 0$

$2bx + (1 - b^2) = 0$

$2bx = b^2 - 1$

判別式 $D$ を考えるために、接線の方程式を代入した式を整理する。

$x^2 - (-x+b)^2 = -1$

$x^2 - (x^2 -2bx + b^2) = -1$

$x^2 - x^2 + 2bx - b^2 = -1$

$2bx - b^2 + 1 = 0$

整理して、

$2bx = b^2 - 1$

これだけでは2次方程式にならないため、別の方法を考える。

接線の方程式を $y = -x + b$ とおき、$x^2 - y^2 = -1$ に代入する。

$x^2 - (-x + b)^2 = -1$

$x^2 - (x^2 - 2bx + b^2) = -1$

$x^2 - x^2 + 2bx - b^2 + 1 = 0$

$2bx - b^2 + 1 = 0$

これは $x$ についての1次方程式なので、接線の方程式を異なる形で表す必要がある。

$x^2 - y^2 = -1$ を微分して、$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$

傾きが $-1$ であるから、$\frac{x}{y} = -1$ つまり $x = -y$。

$x^2 - y^2 = -1$ に $x = -y$ を代入すると、 $(-y)^2 - y^2 = -1$ つまり $y^2 - y^2 = -1$ これは $0 = -1$ となり矛盾する。

この問題は双曲線が $x^2 - y^2 = 1$ である場合が多い。問題文が $x^2 - y^2 = -1$ であるため、解なしとなる。ただし、仮に$x^2 - y^2 = 1$ であれば、以下のようになる。

$x^2 - y^2 = 1$ に $y = -x + b$ を代入する。

$x^2 - (-x + b)^2 = 1$

$x^2 - (x^2 - 2bx + b^2) = 1$

$2bx - b^2 = 1$

$2bx - b^2 - 1 = 0$

$2bx = b^2 + 1$

判別式 $D = 0$ の条件を適用するため、整理すると、

$x^2 - (-x+b)^2 -1 = 0$

$x^2 - (x^2 - 2bx + b^2) - 1 = 0$

$2bx - b^2 - 1 = 0$

これは $x$ に関する1次方程式になってしまう。

$y = -x + b$を微分すると$\frac{dy}{dx} = -1$.

双曲線$x^2 - y^2 = -1$を微分すると、$2x - 2y\frac{dy}{dx}=0$より、$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$

したがって、$\frac{x}{y} = -1$ つまり、$x = -y$.

これを双曲線に代入すると$x^2 - (-x)^2 = -1$より、$0 = -1$. これはありえない。

したがって、接線は存在しない。

3. 最終的な答え

接線は存在しない。