2点 $A(1, 4)$ と $B(5, -2)$ を結ぶ線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $A(1, 4)$ と $B(5, -2)$ を結ぶ線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、線分 $AB$ の中点を求めます。中点の座標は、

$\left( \frac{1+5}{2}, \frac{4+(-2)}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{2}{2} \right) = (3, 1)$

次に、線分 $AB$ の傾きを求めます。傾きは、

$\frac{-2 - 4}{5 - 1} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

垂直二等分線の傾きは、線分 $AB$ の傾きの逆数の符号を変えたものなので、$\frac{2}{3}$ となります。

垂直二等分線は、中点 $(3, 1)$ を通り、傾きが $\frac{2}{3}$ の直線なので、その方程式は

$y - 1 = \frac{2}{3}(x - 3)$

これを整理すると、

$y = \frac{2}{3}x - 2 + 1$

$y = \frac{2}{3}x - 1$

さらに、この式を $2x - 3y - 3 = 0$ の形に変形すると、

$3y = 2x - 3$

$2x - 3y - 3 = 0$

となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{2}{3}x - 1$ または $2x - 3y - 3 = 0$