双曲線 $\frac{x^2}{4} - y^2 = -1$ の接線で、傾きが -1 であるものを求めよ。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{4} - y^2 = -1$ の接線で、傾きが -1 であるものを求めよ。

2. 解き方の手順

接線の傾きが -1 であるから、接線の式を $y = -x + n$ とおく。

この直線を双曲線の式に代入して $x$ についての二次方程式を作り、判別式が 0 となるように $n$ の値を定める。

$y = -x + n$ を $\frac{x^2}{4} - y^2 = -1$ に代入すると、

$\frac{x^2}{4} - (-x + n)^2 = -1$

$\frac{x^2}{4} - (x^2 - 2nx + n^2) = -1$

$\frac{x^2}{4} - x^2 + 2nx - n^2 = -1$

$-\frac{3}{4} x^2 + 2nx - n^2 + 1 = 0$

$3x^2 - 8nx + 4n^2 - 4 = 0$

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D/4 = (-4n)^2 - 3(4n^2 - 4) = 16n^2 - 12n^2 + 12 = 4n^2 + 12$

接するので $D = 0$ となる必要があり、$D/4 = 0$より、

$4n^2 + 12 = 0$

$n^2 = -3$

これは実数解を持たない。

考え方を変えましょう。

$y = -x + n$

$x^2/4 - y^2 = -1$ より

$x^2/4 - (y^2 -1) = 0$

$x^2 = 4(y^2 - 1)$

$x = \pm 2\sqrt{y^2 - 1}$

これを微分すると、

$\frac{dx}{dy} = \pm 2 \frac{2y}{2\sqrt{y^2 - 1}} = \pm \frac{2y}{\sqrt{y^2 - 1}}$

$\frac{dy}{dx} = \pm \frac{\sqrt{y^2 - 1}}{2y}$

傾きが -1 なので、

$\frac{\sqrt{y^2 - 1}}{2y} = -1$ or $\frac{\sqrt{y^2 - 1}}{2y} = 1$

$\sqrt{y^2 - 1} = -2y$

$y^2 - 1 = 4y^2$

$3y^2 = -1$

実数解なし。

$\sqrt{y^2 - 1} = 2y$

$y^2 - 1 = 4y^2$

$3y^2 = -1$

実数解なし。

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ の接線は、$y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$

この問題では、$a^2 = 4$, $b^2 = 1$, $m = -1$

$y = -x \pm \sqrt{4(-1)^2 - 1} = -x \pm \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$y = -x + \sqrt{3}$ および $y = -x - \sqrt{3}$