座標平面上に点 $(0,2)$ を通り半径が $\sqrt{5}$ である円 $C: x^2+y^2-2ax-6y+b=0$ がある。ただし、$a$ を正の定数、$b$ を定数とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求める。 (2) 直線 $y = -\frac{1}{2}x+5$ に垂直で、円 $C$ に接する直線は2本ある。このうち、$y$ 軸の正の部分と交わる直線を $m$ とする。直線 $m$ の方程式を求めよ。また、直線 $m$ と円 $C$ の接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に点 $(0,2)$ を通り半径が $\sqrt{5}$ である円 $C: x^2+y^2-2ax-6y+b=0$ がある。ただし、$a$ を正の定数、$b$ を定数とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求める。

(2) 直線 $y = -\frac{1}{2}x+5$ に垂直で、円 $C$ に接する直線は2本ある。このうち、$y$ 軸の正の部分と交わる直線を $m$ とする。直線 $m$ の方程式を求めよ。また、直線 $m$ と円 $C$ の接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式を平方完成すると、

$(x-a)^2 + (y-3)^2 = a^2 + 9 - b$

円 $C$ の中心は $(a, 3)$ で、半径は $\sqrt{a^2 + 9 - b}$ である。

半径が $\sqrt{5}$ であるから、$a^2 + 9 - b = 5$ より、$b = a^2 + 4$ である。

円 $C$ が点 $(0, 2)$ を通るから、$0^2 + 2^2 - 2a(0) - 6(2) + b = 0$ より、$4 - 12 + b = 0$ 、すなわち $b = 8$ である。

したがって、$8 = a^2 + 4$ より、$a^2 = 4$。$a$ は正の定数であるから、$a = 2$ である。

よって、$b = 8$ である。

(2) 直線 $y = -\frac{1}{2}x+5$ に垂直な直線の傾きは $2$ である。

よって、直線 $m$ の方程式を $y = 2x + k$ とおける。

円 $C$ の方程式は $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8 = 0$ である。この円の中心は $(2, 3)$ で、半径は $\sqrt{5}$ である。

直線 $m$ が円 $C$ に接するので、円の中心 $(2, 3)$ と直線 $2x - y + k = 0$ の距離は $\sqrt{5}$ に等しい。

$\frac{|2(2) - 3 + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}$ より、$\frac{|1 + k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$。

よって $|1 + k| = 5$ より、$1 + k = 5$ または $1 + k = -5$。

したがって、$k = 4$ または $k = -6$。

直線 $m$ は $y$ 軸の正の部分と交わるから、$k > 0$ である。

よって、$k = 4$ より、直線 $m$ の方程式は $y = 2x + 4$ である。

接点の座標を求める。中心 $(2, 3)$ から直線 $y = 2x + 4$ に下ろした垂線の足が接点である。

直線 $y = 2x + 4$ に垂直で点 $(2, 3)$ を通る直線の方程式は $y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 2)$ より、$y = -\frac{1}{2}x + 4$ である。

この直線と直線 $y = 2x + 4$ の交点を求めると、$2x + 4 = -\frac{1}{2}x + 4$ より、$\frac{5}{2}x = 0$。

よって、$x = 0$。$y = 2(0) + 4 = 4$ より、交点は $(0, 4)$ である。

したがって、接点の座標は $(0, 4)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = 8$

(2) 直線 $m$ の方程式: $y = 2x + 4$

直線 $m$ と円 $C$ の接点の座標: $(0, 4)$