座標平面上に、点 $(0, 2)$ を通り半径が $\sqrt{5}$ である円 $C: x^2 + y^2 - 2ax - 6y + b = 0$ がある。ただし、$a$ は正の定数、$b$ は定数とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) 直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ に垂直で、円 $C$ に接する直線は2本ある。このうち、$y$軸の正の部分と交わる直線を $m$ とする。直線 $m$ の方程式を求めよ。また、直線 $m$ と円 $C$ の接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に、点 $(0, 2)$ を通り半径が $\sqrt{5}$ である円 $C: x^2 + y^2 - 2ax - 6y + b = 0$ がある。ただし、$a$ は正の定数、$b$ は定数とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) 直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ に垂直で、円 $C$ に接する直線は2本ある。このうち、$y$軸の正の部分と交わる直線を $m$ とする。直線 $m$ の方程式を求めよ。また、直線 $m$ と円 $C$ の接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式を平方完成すると、

$(x - a)^2 + (y - 3)^2 = a^2 + 9 - b$

円 $C$ の中心は $(a, 3)$ であり、半径は $\sqrt{a^2 + 9 - b} = \sqrt{5}$。

よって、$a^2 + 9 - b = 5$ より、$b = a^2 + 4$。

また、円 $C$ は点 $(0, 2)$ を通るので、$0^2 + 2^2 - 2a(0) - 6(2) + b = 0$。

したがって、$4 - 12 + b = 0$ より、$b = 8$。

$b = a^2 + 4$ より、$8 = a^2 + 4$ なので、$a^2 = 4$。$a > 0$ より、$a = 2$。

(2) 直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ に垂直な直線の傾きは $2$ である。

したがって、直線 $m$ の方程式は $y = 2x + k$ と表せる。

円 $C$ の方程式は $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8 = 0$。

円 $C$ の中心は $(2, 3)$ で、半径は $\sqrt{5}$ である。

直線 $m$ と円 $C$ が接するので、点 $(2, 3)$ と直線 $2x - y + k = 0$ の距離は $\sqrt{5}$ に等しい。

$\frac{|2(2) - 3 + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}$ より、

$\frac{|1 + k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$|1 + k| = 5$

$1 + k = \pm 5$

$k = -1 \pm 5$

$k = 4, -6$

$y$ 軸の正の部分と交わる直線なので、$k > 0$。よって、$k = 4$。

直線 $m$ の方程式は $y = 2x + 4$。

接点を $(x_0, y_0)$ とすると、接線 $m$ の方程式は

$(x_0 - 2)(x - 2) + (y_0 - 3)(y - 3) = 5$

これは $2x + 4 = y$ と同じなので

$(x_0 - 2)x + (y_0 - 3)y - 2(x_0 - 2) - 3(y_0 - 3) = 5$

$(x_0 - 2)x + (y_0 - 3)y - 2x_0 + 4 - 3y_0 + 9 = 5$

$(x_0 - 2)x + (y_0 - 3)y - 2x_0 - 3y_0 + 8 = 5$

$y_0 - 3 = t$とすると, $x_0 - 2 = 2t$

$x_0 = 2t + 2$, $y_0 = t + 3$

$(2t)^2 + t^2 = 5$より、$5t^2 = 5$なので、$t^2 = 1$。

$t = \pm 1$。接線が $y=2x+4$ より、接点は1つ。

$y = 2x+4$ を満たすのは、$t=-1$ のとき。

$t = -1$ のとき、$x_0 = 0, y_0 = 2$

$t = 1$ のとき、$x_0 = 4, y_0 = 4$

しかし、$(4,4)$を代入すると $4^2+4^2-4(4)-6(4)+8=16+16-16-24+8=0$なので$(4,4)$は円上の点

直線 $m$ の方程式は $y = 2x + 4$。円 $C$ の方程式は $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5$。

$y = 2x + 4$ を円の方程式に代入すると、

$(x - 2)^2 + (2x + 4 - 3)^2 = 5$

$(x - 2)^2 + (2x + 1)^2 = 5$

$x^2 - 4x + 4 + 4x^2 + 4x + 1 = 5$

$5x^2 = 0$

$x = 0$

$y = 2(0) + 4 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = 8$

(2) 直線 $m$ の方程式: $y = 2x + 4$, 接点の座標: $(0, 4)$