(1) $\tan(90^\circ - \theta) \tan(180^\circ - \theta)$ を簡単にせよ。 (2) (ア) $\sin 100^\circ$, $\cos 130^\circ$ を $45^\circ$ 以下の三角比で表せ。 (2) (イ) $\sin 100^\circ + \sin 110^\circ + \cos 160^\circ + \cos 170^\circ$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

(1) $\tan(90^\circ - \theta) \tan(180^\circ - \theta)$ を簡単にせよ。

(2) (ア) $\sin 100^\circ$, $\cos 130^\circ$ を $45^\circ$ 以下の三角比で表せ。

(2) (イ) $\sin 100^\circ + \sin 110^\circ + \cos 160^\circ + \cos 170^\circ$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\tan(90^\circ - \theta)$ と $\tan(180^\circ - \theta)$ を変形します。

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{\sin(90^\circ - \theta)}{\cos(90^\circ - \theta)} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\tan \theta}$

$\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta$

よって、

$\tan(90^\circ - \theta) \tan(180^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan \theta} (-\tan \theta) = -1$

(2) (ア)

$\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ = \sin (90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$

$\cos 130^\circ = \cos (180^\circ - 50^\circ) = -\cos 50^\circ = -\cos (90^\circ - 40^\circ) = -\sin 40^\circ$

(2) (イ)

$\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$

$\sin 110^\circ = \sin (180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ$

$\cos 160^\circ = \cos (180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ$

$\cos 170^\circ = \cos (180^\circ - 10^\circ) = -\cos 10^\circ$

したがって、

$\sin 100^\circ + \sin 110^\circ + \cos 160^\circ + \cos 170^\circ = \sin 80^\circ + \sin 70^\circ - \cos 20^\circ - \cos 10^\circ$

ここで、$\sin 80^\circ = \sin (90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$ および $\sin 70^\circ = \sin (90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$ を用いると、

$\sin 80^\circ + \sin 70^\circ - \cos 20^\circ - \cos 10^\circ = \cos 10^\circ + \cos 20^\circ - \cos 20^\circ - \cos 10^\circ = 0$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) (ア) $\sin 100^\circ = \cos 10^\circ$, $\cos 130^\circ = -\sin 40^\circ$

(2) (イ) 0