$xy$平面上において、方程式 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ が円を表すような定数 $a$ の値の範囲を求め、さらに、2つの円 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ と $x^2+y^2=1$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy$平面上において、方程式 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ が円を表すような定数 $a$ の値の範囲を求め、さらに、2つの円 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ と $x^2+y^2=1$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ が円を表す条件を求める。

まず、この式を平方完成します。

$(x-3)^2 + (y-4)^2 - 9 - 16 + a = 0$

$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 - a$

この方程式が円を表すためには、$25-a > 0$ である必要があります。

したがって、$a < 25$。

(2) 2つの円 $x^2+y^2-6x-8y+a=0$ と $x^2+y^2=1$ が異なる2点で交わる条件を求める。

円 $x^2+y^2=1$ の中心は原点 $(0,0)$ で、半径は $1$ です。

円 $(x-3)^2+(y-4)^2 = 25-a$ の中心は $(3,4)$ で、半径は $\sqrt{25-a}$ です。

2つの円が異なる2点で交わるための条件は、

(i) 2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の和よりも小さいこと。

(ii) 2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の差の絶対値よりも大きいこと。

の2つが成り立つことです。

2つの円の中心間の距離は $\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$。

(i) $5 < 1 + \sqrt{25-a}$ より、 $4 < \sqrt{25-a}$。両辺を2乗して $16 < 25-a$。よって $a < 9$。

(ii) $5 > |\sqrt{25-a} - 1|$ より、$5 > \sqrt{25-a} - 1$ および $5 > -(\sqrt{25-a} - 1)$。

$5 > \sqrt{25-a} - 1$ より、 $6 > \sqrt{25-a}$。両辺を2乗して $36 > 25-a$。よって $a > -11$。

$5 > -(\sqrt{25-a} - 1)$ より、$5 > -\sqrt{25-a} + 1$。よって $\sqrt{25-a} > -4$。これは常に成り立ちます。

したがって、$-11 < a < 9$。

円を表す条件 $a < 25$ も満たしています。

3. 最終的な答え

円を表す $a$ の範囲：$a < 25$

2つの円が異なる2点で交わる $a$ の範囲：$-11 < a < 9$