座標平面上に点列 $P_1(1,1), P_2(2,1), P_3(1,2), P_4(3,1), P_5(2,2), P_6(1,3), P_7(4,1), \dots$ が与えられています。 (1) $P_{100}$ の座標を求める。 (2) $P_n$ の座標が $(28,7)$ となる $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に点列 $P_1(1,1), P_2(2,1), P_3(1,2), P_4(3,1), P_5(2,2), P_6(1,3), P_7(4,1), \dots$ が与えられています。

(1) $P_{100}$ の座標を求める。

(2) $P_n$ の座標が $(28,7)$ となる $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点列の座標の規則性を見つける。各点の座標の和は、$P_1$ が $1+1=2$、$P_2$ が $2+1=3$、$P_3$ が $1+2=3$、$P_4$ が $3+1=4$、$P_5$ が $2+2=4$、$P_6$ が $1+3=4$、$P_7$ が $4+1=5$ というように、1つずつ増えています。

座標の和が $k$ である点の数は $k-1$ 個です。

$P_{100}$ の座標を求めるために、座標の和がいくつの点まで数えれば $P_{100}$ に到達するかを考えます。

座標の和が $k$ である点の総数は $\sum_{i=2}^{k} (i-1) = \sum_{i=1}^{k-1} i = \frac{(k-1)k}{2}$ です。

$\frac{(k-1)k}{2} \ge 100$ となる最小の整数 $k$ を探します。

$k=14$ のとき、$\frac{13 \times 14}{2} = 91$

$k=15$ のとき、$\frac{14 \times 15}{2} = 105$

したがって、座標の和が 15 の点のどこかに $P_{100}$ が存在します。

座標の和が 14 である最後の点は $P_{91}$ で、座標は $(13,1)$ です。

座標の和が 15 の点の列は $(14,1), (13,2), (12,3), \dots, (1,14)$ となります。

$P_{92}, P_{93}, \dots$ はこの順に並んでいるので、$P_{100}$ はこの列の 9 番目の点です。

したがって、$P_{100}$ の座標は $(14 - (9-1), 1 + (9-1)) = (14-8, 1+8) = (6,9)$ となります。

(2) $P_n$ の座標が $(28,7)$ となる $n$ の値を求めます。

座標の和は $28+7=35$ です。

座標の和が $34$ である最後の点の番号を求めます。

$\frac{33 \times 34}{2} = 33 \times 17 = 561$

座標の和が $35$ である最初の点の座標は $(34,1)$ で、番号は $562$ です。

座標が $(28,7)$ である点は、座標の和が $35$ の点の列の中で、$7$ 番目の点です。

したがって、$n = 561 + 7 = 568$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $P_{100}$ の座標は $(6,9)$ です。

(2) $P_n$ の座標が $(28,7)$ となる $n$ の値は $568$ です。