直交座標 $(-2, -2\sqrt{3})$ の点の極座標 $(r, \theta)$ を求める問題です。ただし、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。

1. 問題の内容

直交座標 $(-2, -2\sqrt{3})$ の点の極座標 $(r, \theta)$ を求める問題です。ただし、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。

2. 解き方の手順

直交座標 $(x, y)$ から極座標 $(r, \theta)$ への変換は以下の式で行います。

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

ただし、$\theta$ の象限を考慮する必要があります。

まず、$r$ を計算します。

$r = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

次に、$\theta$ を計算します。

$\tan \theta = \frac{-2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ は、$\frac{\pi}{3}$ または $\frac{4\pi}{3}$ です。

与えられた直交座標 $(-2, -2\sqrt{3})$ は第3象限にあるので、$\theta$ は $\frac{4\pi}{3}$ です。

したがって、極座標は $(4, \frac{4\pi}{3})$ となります。

3. 最終的な答え

$(4, \frac{4\pi}{3})$