点 $F(0, 2)$ からの距離と、直線 $y = -1$ からの距離の比が $2:1$ であるような点 $P(x, y)$ の軌跡を求める問題です。穴埋め形式になっています。

1. 問題の内容

点 $F(0, 2)$ からの距離と、直線 $y = -1$ からの距離の比が $2:1$ であるような点 $P(x, y)$ の軌跡を求める問題です。穴埋め形式になっています。

2. 解き方の手順

(ア) $PH^2$ を求めます。点 $P(x, y)$ から直線 $y = -1$ に下ろした垂線の足 $H$ の座標は $(x, -1)$ となります。よって、$PH = |y - (-1)| = |y + 1|$。したがって、$PH^2 = (y + 1)^2$。

(イ) $PF^2$ を求めます。点 $P(x, y)$ と点 $F(0, 2)$ の距離の公式より、$PF = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2}$。したがって、$PF^2 = x^2 + (y - 2)^2$。

(ウ) $PF:PH = 2:1$ より、$PF = 2PH$

(エ) (ウ)の両辺を2乗して、$PF^2 = 4PH^2$。

(オ) (ア), (イ), (エ)より、$x^2 + (y - 2)^2 = 4(y + 1)^2$。展開して整理すると、

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4(y^2 + 2y + 1)$

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4y^2 + 8y + 4$

$x^2 - 3y^2 - 12y = 0$

$x^2 - 3(y^2 + 4y) = 0$

$x^2 - 3(y^2 + 4y + 4 - 4) = 0$

$x^2 - 3(y + 2)^2 + 12 = 0$

$-x^2 + 3(y + 2)^2 = 12$

$-\frac{x^2}{12} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$

$\frac{(y + 2)^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$

(カ) これは双曲線の方程式です。

3. 最終的な答え

ア: $(y+1)^2$

イ: $x^2 + (y-2)^2$

ウ: $2PH$

エ: $4PH^2$

オ: $\frac{(y+2)^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$

カ: 双曲線