2点 $(0, \sqrt{2})$、$(0, -\sqrt{2})$ からの距離の和が $2\sqrt{3}$ である点 P の軌跡を E とする。 (1) E の方程式を求めよ。 (2) 第1象限内の E 上の点 P における E の接線を $l$ とする。$l$ と x 軸、y 軸の交点をそれぞれ S, T とするとき、三角形 OST の面積の最小値を求めよ。また、そのときの $\angle POS$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

2点 $(0, \sqrt{2})$、$(0, -\sqrt{2})$ からの距離の和が $2\sqrt{3}$ である点 P の軌跡を E とする。

(1) E の方程式を求めよ。

(2) 第1象限内の E 上の点 P における E の接線を $l$ とする。$l$ と x 軸、y 軸の交点をそれぞれ S, T とするとき、三角形 OST の面積の最小値を求めよ。また、そのときの $\angle POS$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 楕円の定義より、2定点からの距離の和が一定である点の軌跡は楕円である。与えられた2点 $(0, \sqrt{2}), (0, -\sqrt{2})$ は焦点であり、距離の和 $2\sqrt{3}$ は長軸の長さに等しい。

焦点が y軸上にあるため、楕円の方程式は $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ となる。

長軸の長さ $2a = 2\sqrt{3}$ より $a = \sqrt{3}$。

焦点の座標は $(0, \pm \sqrt{a^2 - b^2}) = (0, \pm \sqrt{2})$ より $a^2 - b^2 = 2$。

$a = \sqrt{3}$ を代入すると、$(\sqrt{3})^2 - b^2 = 2$ なので、$3 - b^2 = 2$ となり、$b^2 = 1$。よって、$b = 1$。

したがって、楕円 E の方程式は $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{3} = 1$ である。つまり、$x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$

(2) 第1象限内の E 上の点 P の座標を $(x_0, y_0)$ とする。このとき、$x_0 > 0$, $y_0 > 0$ であり、$x_0^2 + \frac{y_0^2}{3} = 1$ が成り立つ。

楕円 $x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線 $l$ の方程式は $x_0x + \frac{y_0y}{3} = 1$ となる。

接線 $l$ と x軸との交点 S の x 座標は、y = 0 を代入して $x_0x = 1$ より $x = \frac{1}{x_0}$ なので、S の座標は $(\frac{1}{x_0}, 0)$。

接線 $l$ と y軸との交点 T の y 座標は、x = 0 を代入して $\frac{y_0y}{3} = 1$ より $y = \frac{3}{y_0}$ なので、T の座標は $(0, \frac{3}{y_0})$。

三角形 OST の面積は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x_0} \cdot \frac{3}{y_0} = \frac{3}{2x_0y_0}$。

面積を最小にするには、$x_0y_0$ を最大にすればよい。

$x_0^2 + \frac{y_0^2}{3} = 1$ より、$x_0^2 + \frac{y_0^2}{3} \geq 2\sqrt{x_0^2 \cdot \frac{y_0^2}{3}} = 2\frac{x_0y_0}{\sqrt{3}}$。

$1 \geq 2\frac{x_0y_0}{\sqrt{3}}$ なので、$x_0y_0 \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$。

等号が成り立つのは $x_0^2 = \frac{y_0^2}{3}$ のとき。このとき、$x_0^2 + x_0^2 = 1$ より $2x_0^2 = 1$, $x_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$。また、$\frac{y_0^2}{3} = \frac{1}{2}$ より、$y_0^2 = \frac{3}{2}$, $y_0 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$。

よって、$x_0y_0$ の最大値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、三角形 OST の面積の最小値は $\frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3}$。

このとき、P の座標は $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$、S の座標は $(\sqrt{2}, 0)$。

$\angle POS = \theta$ とすると、$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{3}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$

(2) 面積の最小値: $\sqrt{3}$、$\angle POS = \frac{\pi}{3}$