点$(2, 3)$を通り、直線$4x + 3y - 7 = 0$に平行な直線と垂直な直線の方程式をそれぞれ求める。

幾何学直線方程式平行垂直傾き
2025/7/14

1. 問題の内容

(2,3)(2, 3)を通り、直線4x+3y7=04x + 3y - 7 = 0に平行な直線と垂直な直線の方程式をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

与えられた直線の方程式は4x+3y7=04x + 3y - 7 = 0である。
(1) 平行な直線の方程式を求める。
平行な直線の傾きは等しいので、与えられた直線と同じ傾きを持つ。
与えられた直線の傾きを求めるために、yyについて解く。
3y=4x+73y = -4x + 7
y=43x+73y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}
よって、傾きは43-\frac{4}{3}である。
したがって、求める平行な直線の方程式は、y=43x+by = -\frac{4}{3}x + bと表せる。
この直線が点(2,3)(2, 3)を通るので、代入してbbを求める。
3=43(2)+b3 = -\frac{4}{3}(2) + b
3=83+b3 = -\frac{8}{3} + b
b=3+83=93+83=173b = 3 + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}
したがって、平行な直線の方程式はy=43x+173y = -\frac{4}{3}x + \frac{17}{3}
両辺に3をかけて整理すると、
3y=4x+173y = -4x + 17
4x+3y17=04x + 3y - 17 = 0
(2) 垂直な直線の方程式を求める。
垂直な直線の傾きは、与えられた直線の傾きの逆数の符号を反転させたものになる。
与えられた直線の傾きは43-\frac{4}{3}なので、垂直な直線の傾きは34\frac{3}{4}である。
したがって、求める垂直な直線の方程式は、y=34x+cy = \frac{3}{4}x + cと表せる。
この直線が点(2,3)(2, 3)を通るので、代入してccを求める。
3=34(2)+c3 = \frac{3}{4}(2) + c
3=64+c3 = \frac{6}{4} + c
c=332=6232=32c = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
したがって、垂直な直線の方程式はy=34x+32y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}
両辺に4をかけて整理すると、
4y=3x+64y = 3x + 6
3x+4y6=0-3x + 4y - 6 = 0
3x4y+6=03x - 4y + 6 = 0

3. 最終的な答え

平行な直線の方程式: 4x+3y17=04x + 3y - 17 = 0
垂直な直線の方程式: 3x4y+6=03x - 4y + 6 = 0

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