問題14.2BCの(3)は、原点Oを中心とする座標平面上に点A(2, 0)と点B(-2, 0)がある。点PからAとBまでの距離の積AP * BP = 4を満たす点Pの軌跡をLとする。この軌跡Lの極方程式を$r^2 = f(\theta)$の形で表し、さらにOPの最大値を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題文に基づいて、一つずつ丁寧に解説します。

1. 問題の内容

問題14.2BCの(3)は、原点Oを中心とする座標平面上に点A(2, 0)と点B(-2, 0)がある。点PからAとBまでの距離の積AP * BP = 4を満たす点Pの軌跡をLとする。この軌跡Lの極方程式を$r^2 = f(\theta)$の形で表し、さらにOPの最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 点Pの座標を$(x, y)$と置く。点A(2, 0), B(-2, 0) および P(x, y) に対して、AP, BPをそれぞれ計算します。

$AP = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$

$BP = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$

ステップ2: AP * BP = 4 という条件式を立てて、式を整理する。

$\sqrt{((x - 2)^2 + y^2)((x + 2)^2 + y^2)} = 4$

両辺を2乗すると、

$((x - 2)^2 + y^2)((x + 2)^2 + y^2) = 16$

ステップ3: $(x^2 + y^2 + 4 - 4x)(x^2 + y^2 + 4 + 4x) = 16$

$(x^2 + y^2 + 4)^2 - (4x)^2 = 16$

$(x^2 + y^2 + 4)^2 - 16x^2 = 16$

$(x^2 + y^2 + 4)^2 = 16x^2 + 16$

$(x^2 + y^2 + 4)^2 = 16(x^2 + 1)$

ステップ4: 極座標に変換する。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $x^2 + y^2 = r^2$を代入します。

$(r^2 + 4)^2 = 16(r^2 \cos^2\theta + 1)$

$r^4 + 8r^2 + 16 = 16r^2\cos^2\theta + 16$

$r^4 + 8r^2 = 16r^2\cos^2\theta$

$r^2(r^2 + 8 - 16\cos^2\theta) = 0$

$r^2 = 0$　または $r^2 = 16\cos^2\theta - 8$

$r=0$は原点を表すので、求める軌跡は

$r^2 = 16\cos^2\theta - 8$

ステップ5: OPの最大値を求める。

$r^2 = 16\cos^2\theta - 8$ より、$r^2$が最大になるのは$\cos^2\theta$が最大値1をとるときである。

このとき $r^2 = 16 - 8 = 8$となる。

したがって、$r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

OPの最大値は、$2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

Lの極方程式: $r^2 = 16\cos^2\theta - 8$

OPの最大値: $2\sqrt{2}$