半径が $x$ cm の円の面積を $y$ cm$^2$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $y$ を $x$ の式で表してください。 (2) 半径が2倍になると、面積は何倍になるか求めてください。 (3) 面積を2倍にするには、半径を何倍にすればよいか求めてください。

1. 問題の内容

半径が $x$ cm の円の面積を $y$ cm$^2$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $y$ を $x$ の式で表してください。

(2) 半径が2倍になると、面積は何倍になるか求めてください。

(3) 面積を2倍にするには、半径を何倍にすればよいか求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 円の面積の公式は、$面積 = π × 半径^2$ です。

したがって、$y$ を $x$ で表す式は、

$y = \pi x^2$

となります。

(2) 半径が2倍になると、$2x$ になります。

このときの面積は、$y' = \pi (2x)^2 = \pi (4x^2) = 4\pi x^2 = 4y$ となります。

したがって、面積は4倍になります。

(3) 面積を2倍にするには、$2y = 2\pi x^2$ とします。

新しい半径を $r$ とすると、$\pi r^2 = 2\pi x^2$ となります。

両辺を $\pi$ で割ると、$r^2 = 2x^2$。

したがって、$r = \sqrt{2} x$ となります。

よって、半径を $\sqrt{2}$ 倍にすればよいです。

3. 最終的な答え

(1) $y = \pi x^2$

(2) 4倍

(3) $\sqrt{2}$ 倍