直角三角形ABCがあり、AB=30cm、BC=20cmです。点PはAからBへ秒速3cmで、点QはBからCへ秒速2cmで移動します。PとQが同時に出発し、四角形APQCの面積が252 $cm^2$になるのは出発から何秒後か求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB=30cm、BC=20cmです。点PはAからBへ秒速3cmで、点QはBからCへ秒速2cmで移動します。PとQが同時に出発し、四角形APQCの面積が252 $cm^2$になるのは出発から何秒後か求める問題です。

2. 解き方の手順

出発から$x$秒後のAPの長さを考えます。

Pは秒速3cmで移動するので、APの長さは$3x$ cmです。

また、PBの長さは$30 - 3x$ cmとなります。

Qは秒速2cmで移動するので、BQの長さは$2x$ cmです。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 30 \times 20 = 300$ $cm^2$です。

三角形PBQの面積は、$\frac{1}{2} \times PB \times BQ = \frac{1}{2} \times (30 - 3x) \times 2x = (30 - 3x)x = 30x - 3x^2$ $cm^2$です。

四角形APQCの面積は、三角形ABCの面積から三角形PBQの面積を引いたものなので、 $300 - (30x - 3x^2) = 300 - 30x + 3x^2$ $cm^2$です。

四角形APQCの面積が252 $cm^2$になる時を求めるので、以下の式を立てて解きます。

$300 - 30x + 3x^2 = 252$

$3x^2 - 30x + 300 - 252 = 0$

$3x^2 - 30x + 48 = 0$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

$(x - 2)(x - 8) = 0$

$x = 2, 8$

PがBに到達するまでの時間: $\frac{30}{3} = 10$秒

QがCに到達するまでの時間: $\frac{20}{2} = 10$秒

したがって、$x$の値は0から10の範囲になければなりません。

$x = 2$と$x = 8$はどちらも条件を満たしています。

3. 最終的な答え

2秒後と8秒後