与えられた2つの二次曲線について、それぞれx軸方向に2、y軸方向に-3だけ平行移動した後の曲線の方程式と焦点を求める問題です。 (1) $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ (2) $x^2 - \frac{y^2}{25} = 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの二次曲線について、それぞれx軸方向に2、y軸方向に-3だけ平行移動した後の曲線の方程式と焦点を求める問題です。

(1) $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

(2) $x^2 - \frac{y^2}{25} = 1$

2. 解き方の手順

(1) 楕円 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ をx軸方向に2、y軸方向に-3だけ平行移動します。

$x$を$x-2$に、$y$を$y+3$に置き換えます。

移動後の楕円の方程式は、

$\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(y+3)^2}{9} = 1$

となります。

元の楕円の焦点は$(0, \pm \sqrt{9-4}) = (0, \pm \sqrt{5})$です。

平行移動によって、焦点も同様に移動します。

移動後の焦点は$(2, \sqrt{5}-3)$と$(2, -\sqrt{5}-3)$となります。

(2) 双曲線 $x^2 - \frac{y^2}{25} = 1$ をx軸方向に2、y軸方向に-3だけ平行移動します。

$x$を$x-2$に、$y$を$y+3$に置き換えます。

移動後の双曲線の方程式は、

$(x-2)^2 - \frac{(y+3)^2}{25} = 1$

となります。

元の双曲線の焦点は$(\pm \sqrt{1+25}, 0) = (\pm \sqrt{26}, 0)$です。

平行移動によって、焦点も同様に移動します。

移動後の焦点は$(\sqrt{26}+2, -3)$と$(-\sqrt{26}+2, -3)$となります。

3. 最終的な答え

(1)

方程式: $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(y+3)^2}{9} = 1$

焦点: $(2, \sqrt{5}-3)$, $(2, -\sqrt{5}-3)$

(2)

方程式: $(x-2)^2 - \frac{(y+3)^2}{25} = 1$

焦点: $(\sqrt{26}+2, -3)$, $(-\sqrt{26}+2, -3)$