(1) $\triangle ABC$ において、$BC=2, A=45^\circ, B=120^\circ$ のとき、$AC$ の長さと外接円の半径を求める。 (2) $\triangle ABC$ において、$AB=3, AC=4, \cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$BC$ の長さと $\triangle ABC$ の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において、$BC=2, A=45^\circ, B=120^\circ$ のとき、$AC$ の長さと外接円の半径を求める。

(2) $\triangle ABC$ において、$AB=3, AC=4, \cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$BC$ の長さと $\triangle ABC$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、角 $C$ を求める。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ$ である。

次に、正弦定理を用いて $AC$ を求める。

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$ より、

$\frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 120^\circ}$

$AC = \frac{2 \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$

したがって、$AC = \sqrt{6}$ である。

次に、外接円の半径 $R$ を求める。正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

$2R = \frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2\sqrt{2}$

$R = \sqrt{2}$

したがって、外接円の半径は $\sqrt{2}$ である。

(2)

余弦定理を用いて $BC$ を求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{3} = 9 + 16 - 8 = 17$

$BC = \sqrt{17}$

次に、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

したがって、

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \sqrt{6}$、外接円の半径は $\sqrt{2}$

(2) $BC = \sqrt{17}$、$\triangle ABC$ の面積は $4\sqrt{2}$