原点Oを中心とする半径$r$の円に対し、円の外部の点A(4,0)から2本の接線l, mを引く。接線l, mと円との接点をそれぞれB, Cとする。 (1) $\angle BAC = \frac{\pi}{6}$のとき、$r$を求める。 (2) $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$のとき、接線l, mと弧BCのうち短い方によって囲まれる図形の面積を求める。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径$r$の円に対し、円の外部の点A(4,0)から2本の接線l, mを引く。接線l, mと円との接点をそれぞれB, Cとする。

(1) $\angle BAC = \frac{\pi}{6}$のとき、$r$を求める。

(2) $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$のとき、接線l, mと弧BCのうち短い方によって囲まれる図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\angle BAC = \frac{\pi}{6}$のとき、$\angle BAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{\pi}{12}$となる。

$\triangle OAB$は直角三角形なので、$\sin \angle BAO = \frac{OB}{OA}$が成り立つ。

よって、$\sin \frac{\pi}{12} = \frac{r}{4}$となる。

ここで、$\sin \frac{\pi}{12} = \sin ( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

したがって、$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{r}{4}$

$r = \sqrt{6}-\sqrt{2}$

(2)

$\angle BAC = \frac{\pi}{2}$のとき、$\angle BAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{\pi}{4}$となる。

$\triangle OAB$は直角三角形なので、$\sin \angle BAO = \frac{OB}{OA}$が成り立つ。

よって、$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{r}{4}$となる。

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r}{4}$

$r = 2\sqrt{2}$

接線l, mと弧BCのうち短い方によって囲まれる図形の面積は、四角形ABOCの面積から扇形OBCの面積を引いたものとなる。

四角形ABOCの面積は、$\triangle OAB$の面積の2倍である。

$\triangle OAB = \frac{1}{2} \times AB \times OB = \frac{1}{2} \times \sqrt{OA^2 - OB^2} \times r = \frac{1}{2} \times \sqrt{4^2 - (2\sqrt{2})^2} \times 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{16-8} \times 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{8} \times 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 4$

四角形ABOCの面積は、$2 \times 4 = 8$

扇形OBCの面積は、$\frac{1}{4} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \pi (2\sqrt{2})^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 8 = 2\pi$

求める面積は、$8-2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $r = \sqrt{6}-\sqrt{2}$

(2) $8-2\pi$