三角形ABCにおいて、$AB = 9$, $AC = 6$である。角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Bを通る円Oがあり、円Oは点Cで直線ACに接している。また、円Oと辺ABの交点のうち、点Bでない方をEとする。 (1) $BD:DC$を最も簡単な整数の比で表せ。 (2) 線分$AE$の長さを求めよ。また、線分$AD$と線分$CE$の交点をFとするとき、$AF:FD$を最も簡単な整数の比で表せ。 (3) (2)のとき、線分$BF$と線分$DE$の交点をGとする。$BG:GF$を最も簡単な整数の比で表せ。また、三角形$BCE$の面積をSとするとき、三角形$EGF$の面積をSを用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 9$, $AC = 6$である。角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Bを通る円Oがあり、円Oは点Cで直線ACに接している。また、円Oと辺ABの交点のうち、点Bでない方をEとする。

(1) $BD:DC$を最も簡単な整数の比で表せ。

(2) 線分$AE$の長さを求めよ。また、線分$AD$と線分$CE$の交点をFとするとき、$AF:FD$を最も簡単な整数の比で表せ。

(3) (2)のとき、線分$BF$と線分$DE$の交点をGとする。$BG:GF$を最も簡単な整数の比で表せ。また、三角形$BCE$の面積をSとするとき、三角形$EGF$の面積をSを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 9:6 = 3:2$。

(2) 円Oは点CでACに接するので、$AC$は円の接線となる。したがって、方べきの定理より、$AE \cdot AB = AC^2$。

$AE \cdot 9 = 6^2 = 36$

$AE = 36/9 = 4$。

次に、$AF:FD$を求める。チェバの定理より、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CG}{GA} = 1$

$\frac{4}{9-4} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CG}{GA} = 1$

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CG}{GA} = 1$

$\frac{CG}{GA} = \frac{5}{6}$。

メネラウスの定理より、$\triangle ABD$と直線$CE$について

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$2 \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{DF}{FA} = \frac{1}{2}$

したがって、$AF:FD = 2:1$

(3) $\triangle ABC$において、直線$DE$と線分$BF$の交点が$G$である。$\triangle BCE$の面積を$S$とする。

まず、$BG:GF$を求める。$DE$は$\triangle ABF$に対して、メネラウスの定理を適用する。

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BG}{GF} \cdot \frac{FD}{DA} = 1$

$\frac{4}{5} \cdot \frac{BG}{GF} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{BG}{GF} = \frac{15}{4}$。

次に、$\triangle EGF$の面積をSを用いて表す。

$BD:DC = 3:2$ より、$\triangle ABD = \frac{3}{5} \triangle ABC$、$AD:FD = 3:1$なので、$\triangle ABF = \frac{2}{3} \triangle ABD = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \triangle ABC = \frac{2}{5}\triangle ABC$

$\triangle BCE$の面積は $S$なので、$\frac{BE}{BA} = \frac{5}{9}$より、$\triangle ACE = \frac{4}{5}S$

$\triangle ABC = \frac{AC}{AE}\triangle ACE = \frac{AC}{AE}\frac{AC}{CE}$

$\triangle ABC = \frac{9}{5} \triangle BCE$ なので、 $\frac{5}{9}\triangle ABC = S$

$\triangle BGE = \frac{BG}{BF} \triangle BEF = \frac{BG}{BF} \frac{BE}{BA} \triangle ABF$

$\frac{BG}{BF} = \frac{15}{15+4} = \frac{15}{19}$、$\frac{BE}{BA} = \frac{5}{9}$, $\triangle ABF = \frac{2}{5}\triangle ABC$なので、

$\triangle BGE = \frac{15}{19} \times \frac{5}{9} \times \frac{2}{5} \triangle ABC = \frac{2}{19}\triangle ABC$

$\triangle EGF = \frac{GF}{BF} \times \frac{BE}{BA} \times \triangle ABF$

$\frac{GF}{BF} = \frac{4}{19}$、$\triangle EGF = \frac{4}{19} \times \frac{5}{9} \times \frac{2}{5} \triangle ABC = \frac{8}{171} \triangle ABC$

$\triangle ABC = \frac{9}{5}S$より、$\triangle EGF = \frac{8}{171} \times \frac{9}{5} S = \frac{8}{19 \times 5}S = \frac{8}{95}S$

3. 最終的な答え

(1) $BD:DC = 3:2$

(2) $AE = 4$, $AF:FD = 2:1$

(3) $BG:GF = 15:4$, $\triangle EGF = \frac{8}{95}S$