直角三角形ABCがあり、AB=8cm、BC=12cm。点PはAを毎秒2cmの速さでAB上をBまで動き、点QはCを毎秒1cmの速さでCB上をBまで動きます。点Pと点Qが同時に出発したとき、四角形ACQPの面積が39平方cmになるのは、出発してから何秒後か、を求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB=8cm、BC=12cm。点PはAを毎秒2cmの速さでAB上をBまで動き、点QはCを毎秒1cmの速さでCB上をBまで動きます。点Pと点Qが同時に出発したとき、四角形ACQPの面積が39平方cmになるのは、出発してから何秒後か、を求める問題です。

2. 解き方の手順

出発してから$t$秒後のAPの長さは$2t$ cm、CQの長さは$t$ cmです。

三角形ABCの面積は $\frac{1}{2} \times 8 \times 12 = 48$ 平方cmです。

三角形PBQの面積は $\frac{1}{2} \times (8-2t) \times (12-t)$ 平方cmです。

四角形ACQPの面積は三角形ABCの面積から三角形PBQの面積を引いたものなので、

$$48 - \frac{1}{2}(8-2t)(12-t) = 39$$

これを解いて$t$を求めます。

まず、式を整理します。

$$48 - \frac{1}{2}(96 - 8t - 24t + 2t^2) = 39$$

$$48 - \frac{1}{2}(96 - 32t + 2t^2) = 39$$

両辺を2倍して、

$$96 - (96 - 32t + 2t^2) = 78$$

$$96 - 96 + 32t - 2t^2 = 78$$

$$-2t^2 + 32t = 78$$

$$2t^2 - 32t + 78 = 0$$

両辺を2で割って、

$$t^2 - 16t + 39 = 0$$

因数分解すると、

$$(t-3)(t-13) = 0$$

したがって、$t=3$または$t=13$となります。

PがAB上を動く条件から、$2t \le 8$、つまり$t \le 4$である必要があります。

また、QがCB上を動く条件から、$t \le 12$である必要があります。

したがって、$t=3$のみが条件を満たします。

3. 最終的な答え

3秒後