図のような経路において、PからQまで最短経路で進む場合について、以下の問いに答えます。 (1) 全ての経路の総数を求めます。 (2) RとSの両方を通る経路の数を求めます。 (3) ×印の箇所を通らない経路の数を求めます。

1. 問題の内容

図のような経路において、PからQまで最短経路で進む場合について、以下の問いに答えます。

(1) 全ての経路の総数を求めます。

(2) RとSの両方を通る経路の数を求めます。

(3) ×印の箇所を通らない経路の数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、右方向への移動をa、下方向への移動をbとします。PからQまでの最短経路は、右に5回、下に4回移動することによって到達できます。したがって、全ての最短経路は、5つのaと4つのbを並び替える順列の数として求められます。

(1) 全ての経路の総数

PからQへ行く最短経路の総数は、9回の移動のうち、右方向(a)への移動を5回選ぶ組み合わせの数に等しいです。これは、組み合わせの公式 $C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ を用いて計算できます。

$C(9,5) = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) RとSの両方を通る経路の数

Rを通るためには、Pから右に2回、下に1回移動する必要があります。RからSへは、右に0回、下に2回移動する必要があります。SからQへは、右に3回、下に1回移動する必要があります。したがって、それぞれの経路の数を掛け合わせると、RとSの両方を通る経路の数が得られます。

PからRへの経路の数：$C(3,2) = \frac{3!}{2!1!} = 3$

RからSへの経路の数：$C(2,0) = 1$

SからQへの経路の数：$C(4,3) = \frac{4!}{3!1!} = 4$

したがって、RとSの両方を通る経路の数：$3 \times 1 \times 4 = 12$

(3) ×印の箇所を通らない経路の数

まず、PからQまでの全ての経路数から、×印の箇所を通る経路の数を引きます。

Pから×印の箇所までの経路の数：右に3回、上に1回の移動なので、$C(4,3) = 4$

×印の箇所からQまでの経路の数：右に2回、下に3回の移動なので、$C(5,2) = \frac{5!}{2!3!} = 10$

×印の箇所を通る経路の数：$4 \times 10 = 40$

×印の箇所を通らない経路の数：$126 - 40 = 86$

3. 最終的な答え

(1) 全ての経路の総数: 126通り

(2) RとSの両方を通る経路の数: 12通り

(3) ×印の箇所を通らない経路の数: 86通り