与えられた問題は、以下の通りです。 * (2) 直線 $6x - 4y + 3 = 0$ を $l$ とする。点 $(1, 4)$ を通り、$l$ に平行な直線の方程式を求める。また、点 $(-3, 5)$ を通り、$l$ に垂直な直線の方程式を求める。 * (3) 点 $(6, -5)$ と直線 $x - 2y + 4 = 0$ の距離を求める。 * (4) * (1) 円 $x^2 + y^2 + 2x - 18y + 78 = 0$ の中心の座標と半径を求める。 * (2) 中心が点 $(2, 3)$ で、点 $(8, -1)$ を通る円の方程式を求める。 * (5) 円 $x^2 + y^2 = 26$ と直線 $y = x - 4$ の共有点の座標を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の通りです。

* (2) 直線 $6x - 4y + 3 = 0$ を $l$ とする。点 $(1, 4)$ を通り、$l$ に平行な直線の方程式を求める。また、点 $(-3, 5)$ を通り、$l$ に垂直な直線の方程式を求める。

* (3) 点 $(6, -5)$ と直線 $x - 2y + 4 = 0$ の距離を求める。

* (4)

* (1) 円 $x^2 + y^2 + 2x - 18y + 78 = 0$ の中心の座標と半径を求める。

* (2) 中心が点 $(2, 3)$ で、点 $(8, -1)$ を通る円の方程式を求める。

* (5) 円 $x^2 + y^2 = 26$ と直線 $y = x - 4$ の共有点の座標を求める。

2. 解き方の手順

* (2)

* $l$ に平行な直線は、$6x - 4y + k = 0$ と表せる。これが点 $(1, 4)$ を通るので、$6(1) - 4(4) + k = 0$ より $6 - 16 + k = 0$ となり、$k = 10$。よって、$6x - 4y + 10 = 0$、つまり、$3x - 2y + 5 = 0$。

* $l$ に垂直な直線の傾きは、$\frac{3}{2}$。よって、求める直線の方程式は、$y - 5 = -\frac{2}{3}(x + 3)$。整理すると、$3y - 15 = -2x - 6$ より、$2x + 3y - 9 = 0$。

* (3)

* 点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は、$\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。

* 点 $(6, -5)$ と直線 $x - 2y + 4 = 0$ の距離は、$\frac{|6 - 2(-5) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|6 + 10 + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$。

* (4)

* (1) $x^2 + 2x + y^2 - 18y + 78 = 0$ を変形すると、$(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = 1 + 81 - 78 = 4$。よって、中心は $(-1, 9)$、半径は $2$。

* (2) 中心 $(2, 3)$ で点 $(8, -1)$ を通るので、半径は$\sqrt{(8-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$。よって、円の方程式は$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 52$。

* (5)

* $x^2 + y^2 = 26$ と $y = x - 4$ を連立させる。$x^2 + (x - 4)^2 = 26$ より、$x^2 + x^2 - 8x + 16 = 26$。よって、$2x^2 - 8x - 10 = 0$。つまり、$x^2 - 4x - 5 = 0$。$(x - 5)(x + 1) = 0$ より、$x = 5, -1$。$x = 5$ のとき、$y = 5 - 4 = 1$。$x = -1$ のとき、$y = -1 - 4 = -5$。よって、共有点の座標は $(5, 1), (-1, -5)$。

3. 最終的な答え

* (2) $3x - 2y + 5 = 0$, $2x + 3y - 9 = 0$

* (3) $4\sqrt{5}$

* (4)

* (1) 中心 $(-1, 9)$, 半径 $2$

* (2) $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 52$

* (5) $(5, 1), (-1, -5)$