## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

1. 10本のくじの中に当たりくじが3本入っている。引いたくじを戻さずに2回続けて引くとき、当たりくじが1本だけ当たる確率を求める。

2. 三角形ABCにおいて、点Iが内心であり、∠BAC=70°であるとき、∠BICの大きさを求める。

3. 円において、弦ABと弦CDの延長線が点Pで交わっている。AP=5, BP=11, CP=4であるとき、DP=xを求める。

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2. 解き方の手順

### 問題1

当たりくじが1本だけ当たる場合は、以下の2つのケースが考えられます。

* 1回目に当たり、2回目に外れる

* 1回目に外れ、2回目に当たる

**ケース1: 1回目に当たり、2回目に外れる場合**

* 1回目に当たる確率は、$\frac{3}{10}$

* 1回目に当たりを引いた後、残り9本のうち外れくじは7本なので、2回目に外れる確率は$\frac{7}{9}$

* よって、このケースの確率は、$\frac{3}{10} \times \frac{7}{9} = \frac{21}{90}$

**ケース2: 1回目に外れ、2回目に当たる場合**

* 1回目に外れる確率は、$\frac{7}{10}$

* 1回目に外れを引いた後、残り9本のうち当たりくじは3本なので、2回目に当たる確率は$\frac{3}{9}$

* よって、このケースの確率は、$\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90}$

したがって、当たりくじが1本だけ当たる確率は、2つのケースの確率の和になります。

$\frac{21}{90} + \frac{21}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$

### 問題2

三角形ABCにおいて、Iが内心であるとき、AI, BI, CIはそれぞれ角A, 角B, 角Cの二等分線になります。

* $\angle BAC = 70^\circ$ なので、$\angle BAI = \angle CAI = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$

* $\angle BIC = 180^\circ - (\angle IBC + \angle ICB)$

* $\angle IBC = \frac{\angle B}{2}$, $\angle ICB = \frac{\angle C}{2}$

* 三角形の内角の和は180度なので、$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

* $\angle IBC + \angle ICB = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = \frac{\angle B + \angle C}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

* したがって、$\angle BIC = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

### 問題3

方べきの定理より、$AP \cdot BP = CP \cdot DP$が成り立ちます。

$AP = 5$, $BP = 11$, $CP = 4$ を代入すると、$5 \cdot 11 = 4 \cdot x$

$55 = 4x$

$x = \frac{55}{4}$

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3. 最終的な答え

1. $\frac{7}{15}$

2. $125^\circ$

3. $\frac{55}{4}$