図において、$\angle BFD = 25^\circ$、$\angle ACB = 45^\circ$ のとき、$\angle ABC$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

図において、$\angle BFD = 25^\circ$、$\angle ACB = 45^\circ$ のとき、$\angle ABC$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle CAD = \angle CBD$ が成り立ちます（円周角の定理より）。

また、$\angle ADB = \angle ACB = 45^\circ$ が成り立ちます（円周角の定理より）。

次に、$\triangle BFD$ に注目すると、$\angle DBF = 180^\circ - (\angle BFD + \angle BDF)$ となります。

ここで、$\angle BDF = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ です。

したがって、$\angle DBF = 180^\circ - (25^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$ となります。

$\angle CAD = \angle CBD = \angle DBF = 20^\circ$ であるから、$\angle CAB = \angle CAD + \angle DAB = 20^\circ + \angle DAB$ となります。

三角形 $ABC$ において、$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$ が成り立ちます。

$\angle ABC + 45^\circ + 20^\circ + \angle DAB = 180^\circ$ となります。

$\angle ABC = \angle CBD + \angle ABD = 20^\circ + \angle ABD$ です。

四角形 $ADBE$ は円に内接しているので、$\angle CAB + \angle BDE = 180^\circ$ となります。

$\angle ACB = 45^\circ$ と $\angle CAD = 20^\circ$ を利用して，$\angle DAB + \angle ADB + \angle BDA = 180^\circ$ より，$20^\circ + 45^\circ + \angle ABC = 180^\circ$ となりません。

三角形の内角の和は180度より，$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$ なので，

$\angle ABC + 45^\circ + \angle CAB = 180^\circ$，$\angle CAB = 180^\circ - 45^\circ - \angle ABC$

$\angle AEB = 180^\circ - 25^\circ - \angle ABE$,

$\angle CBD = 180^\circ -25^\circ -135^\circ$, $\angle CBD = 20^\circ = \angle CAD$,

$\angle DAB + \angle ADB = 115^\circ$です．

三角形ABDの内角の和は180度より，$\angle DAB + \angle ABD + 45^\circ = 180^\circ$

三角形ABCの内角の和は180度より，$\angle CAB + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ$，

$\angle CAB + 45^\circ + \angle ABC = 180^\circ$，

$\angle CAD + \angle DAB + 45^\circ + \angle ABC = 180^\circ$，

$20^\circ + \angle DAB + 45^\circ + \angle ABC = 180^\circ$

$\angle DAB + \angle ABC = 115^\circ$

$\angle DAB + \angle ABD + 45^\circ = 180^\circ$

$\angle DAB + \angle ABD = 135^\circ$

$\angle ABC - \angle ABD = 20^\circ$

$\angle ABC = 115^\circ - \angle DAB$

$\angle DAB + 115^\circ - \angle DAB - 20^\circ = 135^\circ$

$95^\circ$

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$ であり、$\angle DBC = 20^\circ$ より$\angle ABC = \angle ABD + 20^\circ$ です。

$\angle FAB = 180^\circ - \angle FAE - \angle EAB = 180^\circ - 20^\circ - 45^\circ$です

3. 最終的な答え

$110^\circ$

$\angle ABC = 110^\circ$