円の外部の点Pから、円に2本の直線AB, CDが引かれている。点Pは直線AB, CDの延長の交点である。PA=5, AB=11, PC=4のとき、PD=xを求める。

1. 問題の内容

円の外部の点Pから、円に2本の直線AB, CDが引かれている。点Pは直線AB, CDの延長の交点である。PA=5, AB=11, PC=4のとき、PD=xを求める。

2. 解き方の手順

円の外部の点から引かれた2本の直線に関するべき乗の定理を用いる。

べき乗の定理とは、円外の点Pから円に2本の直線を引き、それぞれ円とA,BおよびC,Dで交わるとき、

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

が成り立つというものである。

この問題では、PA=5, AB=11, PC=4, PD=xなので、PBとPDをPA, AB, PC, PDを使って表すと、

PB = PA + AB = 5 + 11 = 16

PD = PC + CD = 4 + x

上記のべき乗の定理の式に当てはめると、

$5 \cdot 16 = 4 \cdot (4 + x)$

$80 = 16 + 4x$

$4x = 64$

$x = 16$

3. 最終的な答え

x = 16