問題は3つあります。 [5] 円 $x^2 + y^2 = 26$ と直線 $y = x - 4$ の共有点の座標を求めます。 [6] 円 $x^2 + y^2 = 40$ 上の点 $(6, -2)$ における接線の方程式を求めます。 [7] 点 $(5, 0)$ から円 $x^2 + y^2 = 9$ に引いた接線の方程式のうち、傾きが負のものを求めます。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

[5] 円 $x^2 + y^2 = 26$ と直線 $y = x - 4$ の共有点の座標を求めます。

[6] 円 $x^2 + y^2 = 40$ 上の点 $(6, -2)$ における接線の方程式を求めます。

[7] 点 $(5, 0)$ から円 $x^2 + y^2 = 9$ に引いた接線の方程式のうち、傾きが負のものを求めます。

2. 解き方の手順

[5]

円 $x^2 + y^2 = 26$ と直線 $y = x - 4$ の共有点を求めるには、直線の方程式を円の方程式に代入します。

$x^2 + (x-4)^2 = 26$

$x^2 + x^2 - 8x + 16 = 26$

$2x^2 - 8x - 10 = 0$

$x^2 - 4x - 5 = 0$

$(x - 5)(x + 1) = 0$

$x = 5$ または $x = -1$

$x = 5$ のとき、$y = 5 - 4 = 1$

$x = -1$ のとき、$y = -1 - 4 = -5$

したがって、共有点の座標は $(5, 1)$ と $(-1, -5)$ です。

[6]

円 $x^2 + y^2 = 40$ 上の点 $(6, -2)$ における接線の方程式は、$6x - 2y = 40$ で与えられます。

$3x - y = 20$

したがって、接線の方程式は $3x - y = 20$ です。

[7]

接点 $P(p, q)$ は円 $x^2 + y^2 = 9$ の周上にあるので、$p^2 + q^2 = 9$ ...(i) が成り立ちます。

点 $P$ における円の接線の方程式は、$px + qy = 9$ ...(ii) と表されます。

この直線が点 $(5, 0)$ を通るので、$5p + 0q = 9$ より、$5p = 9$、したがって $p = \frac{9}{5}$ となります。

(i) に $p = \frac{9}{5}$ を代入すると、$(\frac{9}{5})^2 + q^2 = 9$

$\frac{81}{25} + q^2 = 9$

$q^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{225 - 81}{25} = \frac{144}{25}$

$q = \pm \sqrt{\frac{144}{25}} = \pm \frac{12}{5}$

傾きが負であることから、$q = -\frac{12}{5}$

したがって、接線の方程式は $\frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y = 9$

$9x - 12y = 45$

$3x - 4y = 15$

3. 最終的な答え

[5] (5, 1), (-1, -5)

[6] 3x - y = 20

[7] 3x - 4y = 15