図において、$\angle BFD = 25^\circ$, $\angle ACB = 45^\circ$ のとき、$\angle ABC$ を求めよ。

1. 問題の内容

図において、$\angle BFD = 25^\circ$, $\angle ACB = 45^\circ$ のとき、$\angle ABC$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle CED$を求めます。$\angle ACB = 45^\circ$ なので、$\angle CED = \angle ACB = 45^\circ$ (円周角の定理)。

次に、$\triangle CEF$について考えます。$\angle F = 25^\circ$, $\angle CED = 45^\circ$ なので、$\angle ECF$ は、

$\angle ECF = 180^\circ - (\angle F + \angle CED) = 180^\circ - (25^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

よって、$\angle ACB = 45^\circ$ と $\angle ECF = 110^\circ$ より、

$\angle ACE = \angle ECF - \angle ACB = 110^\circ - 45^\circ = 65^\circ$

ここで、円周角の定理より、$\angle EAB = \angle ECB = 65^\circ$

また、$\angle BFD = 25^\circ$ より、$\angle EFA = 25^\circ$。

$\angle EAB = 65^\circ$ より、 $\angle EBA = \angle FBA = x$とおくと、

$\triangle ABF$において、内角の和は180度であるから、

$\angle FAB + \angle FBA + \angle BFA = 180^\circ$

$\angle FAB + x + 25^\circ = 180^\circ$

$\angle FAB = 180^\circ - x - 25^\circ = 155^\circ - x$

ここで、$\angle EAB = 65^\circ$より、$\angle EAF = 180^\circ - \angle EAB - \angle FAB$なので

$\angle EAF = \angle FAB - \angle EAB = (155^\circ - x) - 65^\circ = 90^\circ - x$

四角形AEBCについて考えると、$\angle AEB = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

$\angle EAB + \angle EBC + \angle BCA + \angle AEB = 360^\circ$

$65 + x + 45 + 135= 360$

$x + 245 = 360$

$x= 360-245 = 115$

したがって、$\angle ABC = 115^\circ$。

3. 最終的な答え

115