右の図において、$\angle BFD = 25^\circ$, $\angle ACB = 45^\circ$のとき、$\angle ABC$の大きさを求める。

1. 問題の内容

右の図において、$\angle BFD = 25^\circ$, $\angle ACB = 45^\circ$のとき、$\angle ABC$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理より、$\angle ADB = \angle ACB = 45^\circ$である。

次に、$\triangle BFD$において、$\angle FBD = 180^\circ - (\angle BFD + \angle FDB)$.

$\angle FDB = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

したがって、$\angle FBD = 180^\circ - (25^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB)$.

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.

また、$\angle ABC$ は $\angle FBD$ と $\angle ABD$ の和であるから、$\angle ABC = \angle ABD + \angle FBD$.

$\angle ADB = \angle ACB = 45^\circ$。

$\angle ABC = \angle FBA = \angle FBD + \angle DBA = \angle FBD + \angle DAC$

円に内接する四角形ADEBに着目すると、$\angle ADE = 180 - \angle ABC$

$\angle DAC= \angle DBC$

$\triangle ABC$において、$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (\angle ABC + 45^\circ)$.

$\triangle FBA$において、$\angle FAB = 180^\circ - (\angle FBA + \angle BFD) = 180^\circ - (\angle ABC + 25^\circ)$.

また、$\angle FAE = 180 - \angle F - \angle E = 180 - 25 -45 = 110$　ではないのでだめ

円周角の定理から $\angle ACB = \angle ADB=45^\circ$

$\triangle FBD$において $\angle FBD + \angle BDF + \angle DFB = 180^\circ$。$\angle BDF = 180 - \angle ADE$

$\angle ADE= 45+X$　とする。$\angle ABC = X$

$\angle ABF=180^\circ - \angle BFD -\angle A=\angle ABC$

円に内接する四角形AEBDより、$\angle AED=180-\angle ABC$

なので$\angle AED=180^\circ - \angle FAE$

$\angle BFD=25$,$\angle ACB = 45$. よって、$\angle BAC= A$.$\angle ABC=B$.

$A+B =180-45=135$

$\angle EAB=180-25^\circ-\angle ABC=45$。よって$B=110$.$\angle BAC=70$.

四角形AEBD. $\angle EAB+\angle EDB= 180-ABC$

$E$

$\angle ADE + angle ABC= 180$

$\angle BAC + \angle CBA= 135$

$ADE = \angle ACB + A

$\angle ACB=\angle ADE=135$. なのでだめ

$\angle ABC = 70$

3. 最終的な答え

70